Excelのソルバーを用いた物体の最短移動時間制御(最適制御問題)
        



図1 物体の最短移動時間制御の説明

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 図1のように、x=0の位置に静止している質量mの物体に力fを加え、x=1の位置に最短時間で移動させ、静止させる問題を考える。加える力fは時間tにより、その大きさと方向を変えることができるため関数f(t)とする。f(t)が正のとき、進行方向の力とし、負のときは進行方向と逆の力とする。力の大きさには制限があり、最大値を1とする。すなわち、|f(t)|≦1となる。
 中央(x=0.5)の位置まで1の力を加え、それ以降は-1の力を加える方法がこの問題の理論解である。


仕事の原理(エネルギー保存の法則)


 物体に加えた力fにより、物体がΔx移動したとき、その仕事量は力と移動量の積(内積)fΔxとなる。仕事の原理(エネルギー保存の法則)に従い、仕事量(w)が物体の運動エネルギーに変換される。

   w=ΣfΔx = (1/2)mv2    (1)

         v:物体速度

 x=1の位置で物体が静止するためには、その位置までの仕事の合計(w=ΣfΔx)が0になる必要がある。



Excelのソルバーを用いた物体の最短移動時間制御


 図2のように、位置ごとに適当な力を設定する。ただし、今回のケースは非線形性が強く、理論解から大きく離れるとソルバーはうまく解に収れんしないようである。なんとかしてくださいマイクロソフトさん。
設定した力から移動時間を算出する。その手順を以降に示す。
(1)仕事量の計算
 仕事の増分を計算し、仕事量(w)を積算する。
(2)仕事量から物体の速度(v)を計算する。
 v=√(2w/m)
(3)平均速度から経過時間を計算し、経過時間集計し、移動時間を算出する。




  図2 物体の最短移動時間制御(ソルバー実行前)

メニューバーでツール→ソルバーをクリックすると、パラメータ設定があらわれる。変化させるセルを力fとし、経過時間の合計 を目的セルとし目標値を最小に設定する。制約条件として、仕事量の合計を0に設定し、力fを-1と1の範囲に設定する。実行ボタンをクリックすると、図3の計算結果が現れる。



  図3 物体の最短移動時間制御(ソルバー実行後)





組込みシステムとは
(Excelを用いた組込みシステム最適コストの計算)


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