JR福知山線 脱線事故シミュレーション
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２００５年４月２５日午前９時１８分頃、JR福知山線のカーブで電車転覆脱線事故が発生し、 １００人以上の尊い命がうばわれた。 犠牲者のご冥福を心よりお祈り申し上げます。 事故が２度と起こらぬよう、力学的見地から、単純なモデルでのシミュレーションを行い、 転覆原因の究明を試みる。 電車の重心位置、カーブ半径、カント量、レール巾を変化による脱線速度の変化を算出し、 定量的に脱線事故原因の分析を行った。 |
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2007/6/28、福知山線脱線事故については国土交通省航空・鉄道事故調査委員会の最終報告が出たました。 しかし、JR西日本が力学を設計に十分使っていなかったことに対する警告は不十分に感じました。
運転手の日勤教育に対する恐怖よりも、電車脱線による死への恐怖のほうが数段大きいはずです。
電車の時速１２０Kmまでなら脱線しないと、亡くなった運転手は認識していたのではないか。
力学的に時速何キロで電車が脱線するか？JR西日本もこのことに関する詳細な解析を怠っていたのではないか。
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 力のつり合い図 |
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尼崎駅配線図
１９９７年、ＪＲ福知山線の進入ルート変更にともない、カーブ半径が小さくなった。 尼崎駅配線図をみると、カーブ外側のドアーから降り、福知山線から東海道本線に乗り換えること がわかる。  この配線図は（たなか@さくらインターネット）さんから入手した。 http://tanaka.sakura.ad.jp/ |
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力のつり合いの法則
力のつり合い図 |
電車速度をＶ、質量をＭとすると、遠心力(E)は E=MV2/R となる。 遠心力は速度の２乗に比例するため、速度が２倍になると、遠心力は４倍になる。 車両重量(W)は W=Mg である。 g ：重力の加速度(9.8m/sec2) 力のつり合いの法則に基づき、力のつり合い方程式を作成する。 鉛直方向のつり合いより W = F1cosθ+F2cosθ-Fhsinθ ・・・・・ ① 水平方向のつり合いより E = F1sinθ+F2sinθ+Fhcosθ ・・・・・ ② 回転モーメントのつり合いより（原点はレールの中間点とした） ＨＥcosθ-HWsinθ=(L/2)F1-(L/2)F2 ・・・・・ ③ 未知数F1,F2,Fhは上記①②③の連立方程式を解けば、算出される。 内側レール支持力(F2)が負のとき、内側の車両が浮上り、片輪走行となる。 横方向の力として、遠心力以外に横風が考えられる。当日は強風はなっかた ようだ。 三角関数の説明 |
力のつり合い方程式を解く
実際の値を用い、力のつり合い方程式を解いた。車両の重心高さなど不明な値があるが、下記と仮定した。 車両質量(M) = 26000Kg 一両目の車両質量（重量） カーブ半径(R)=300m 路面の傾き角(θ)=５度 レール間隔（Ｌ）=1.067m （狭軌） 重心高さ(H)=2m ＥＸＣＥＬを用いて連立方程式の解を求めた。 電車の速度に対応する発生力を計算し、エクセルを使ってグラフを作成した。  図１ 電車の速度が時速１２０Ｋｍ弱あたりで内側レール反力が負となり、片輪走行になる。 時速６０Ｋmあたりでは外側レール反力が０となり、電車のバランスが最もよい。 （車輪の構造上、外側のレール反力が負となることはありえない。反力が負の場合、内側レールが反力を受け持つ） 注）力の単位（月面の福知山線での脱線速度） １ｔｆ ＝ ９．８ｋＮ |
電車転覆運動シミュレーション
図２ 力の不つり合い図
片輪走行となっても、転覆するとは限らない。片輪状態で平衡を保ちながら、走行し、 カーブから脱出後、元にもどる可能性もある。 図１では、電車速度が時速１２０Kmを超えたとき、内側レールの支持力が負となっている。 車輪はレール上にのっているだけであり、内側レールの支持力が負となることはありえない。 実際は、内側レール支持力は０となり、力のつり合い状態が解消され、電車は外側レール下端 を中心に回転運動を始める。 すなわち、ニュートンの第二法則(運動の法則) 外から力を受ける物体はその力の方向に加速度運動を行う。その運動方程式は Ｆ（外力） ＝ Ｍ（質量）×α（加速度） となる。 今回は並進運動ではなく、回転運動である。その運動方程式は M（モーメント） ＝ Ｉ（回転質量）×αrot（角加速度） となる。 そこて、片輪走行中の運動方程式を作り、電車の回転状況を把握する。 運動方程式は ＥＰsinφ - WPcosφ ＝ I×αrot となる。 ＥＰsinφは遠心力による転倒モーメントである。 φ： 外側レール下端と重心の角度(図２ 力のつり合い図参照) E：遠心力 P：回転中心から重心までの距離 P = √((L/2)2 + H2) WPcosφは重力による転倒を抑えるモーメントである。 W：車両重量 角加速度は角速度を時間で微分したものであり、角速度は角度を時間で微分したものである。 すなわち、角加速度は角度の２階微分となる。 αrot = d2φ/dt2 t:経過時間 運動方程式を整理すると、 d2φ/dt2 ＝ (MV2P/(I・R))sinφ - (MgP/I)cosφ となる。 |
運動方程式を解く
電車の形状寸法が不明のため、正確な電車の回転質量(I)が計算できない。 電車形状を半径(r)の円筒と仮定して回転質量(I)を算出した。 I = MP2 + Mr2 となる。 r=1mとすると I = 137400Kgm2である。 重心までの距離(P)は P=2.07m である。 数値積分法(ルンゲクッタ法)を用い、運動方程式の解を求める。 初期条件は 電車が軌道面に乗っている状態とし、初期角速度は０とする。 ルンゲクッタ法は１階連立微分方程式のための解法である。 運動方程式を下記の１階連立微分方程式に置き換える。 dφ/dt = ω dω/dt = (MV2P/(I・R))sinφ - (MgP/I)cosφ ω：角速度 電車の時速が１２０、１３０、１４０、１５０Kmのケースで、運動方程式を解いた。 重心角度(φ）の時間変化を図３に示す。  図３ 重心角度が９０度以上で電車は復元が不可能となり、転覆する。図３より、電車の時速１２０Kｍでも転覆する。 また、片輪走行状態が始まると、おそかれはやかれ、電車は必ず転覆することがわかる。 速度が速い場合、電車は短時間で転覆するだけである。 （実際には、重心角度９０度以上になると、外側車輪のフランジがレールからはずれ、脱線運動となる。） 「片輪走行中に非常ブレーキをかけたため転覆した」と主張する記事もあるが、ブレーキをかけても、 かけなくても、片輪走行が始まると電車は必然的に転覆する。 転覆が始まると、電車の重心は高くなり（遠心力による転倒モーメントが大きくなる）、 外側レールの方に近づく（重力による転倒を抑えるモーメントが小さくなる）ため、より転覆が加速する。 転覆を抑える要因（復元力）はないようである。 自動車ショーの片輪走行ではドライバーがハンドル操作でバランスを保ち、ほぼ直進している。 ハンドルのない電車では転覆が不可避となる。 |
左右レール高低差（カント）の影響
ＪＲ西日本はカントの最大を９７mmと発表した。 直線区間のカントは０である。緩和曲線(クロソイド曲線)内で徐々にカントを増加させているはずである。 転覆は緩和曲線からＲ３００に入ったあたりで始まっている。 Ｒ３００内ではカントをなるべく一定になるよう設定していると思われが、 ＪＲ西日本ではこの最大カント位置での転覆速度を計算しているようである。 そこで、カント値と脱線速度の関係をグラフにした。  図４ カント高さ50ｍｍの時、電車は時速１０８Ｋｍで転覆する。 緩和曲線区間では曲率半径(R)が３００m以上となっているが、カント量は９７mm以下である。 緩和曲線区間が短すぎると、この区間の方が危険な場合がある。 |
電車重心位置の誤差
電車が転覆するかどうかは、その重心位置が大きく寄与するようである。 （質量は車両重量にも遠心力にも同等に寄与するため、転覆速度に対し大きな影響はない） 基本的に、車体の中心に重心がくるように電車は設計されていると思うが、 運転席の位置、機器の配置等により少々ずれている可能性もある。 その上、乗客が車内で偏って乗っている場合、電車全体の重心はずれるはずである。 １両に６０Kgの乗客１００人乗ると仮定すると、その合計重量(m) は６０００Kgになる。 乗客全員が電車中心から(a=1m)のところに偏載したと仮定すると、その重心のずれ(S)は S = ma/(M + m) = 0.1８８ｍ（１８．８ｃｍ） となる。 通勤客の場合、このような偏載は考えにくいが（降りる側のドア方向に集中する可能性もある） カーブの外側に富士山が見えた場合など、乗客が片側に偏載する可能性はある。 転覆脱線の速度を算定する場合、乗客の偏載を考慮する必要がある。 （車両重量が軽量化されたため、相対的に乗客の重量が無視できない） 転覆脱線が発生したと言われる時速１０８Kmにおいて、電車の重心高さ、水平方向のずれの影響を 計算した。そのグラフを示す。  図５  図６ 図５より、重心高さ（２ｍと仮定）を0.5ｍ高くすると、時速１０８Kmで内側レール支持力が０となり、 電車は転覆する。 図６より、重心を外側へ０．１ｍ（１０ｃｍ）ずらしただけで、時速１０８Kmで電車は転覆する。 外側への重心のずれの影響は大きいようである。 重心が高くなると、遠心力による転倒モーメントは増大するが、軌道面の傾斜（カント）が原因で 重心位置が少しカーブ内側に寄り、転倒を抑える重量のモーメントも増加する。 しかしながら、重心が外側にずれこむと、転倒を抑える重量モーメントが激減し、カントの影響で 遠心力も微増する。 そのため外側への重心のずれの影響は大きい。 カーブにさしかかる前、車体の左右のゆれを感じた乗客、JR職員の証言がある。 その左右のゆれの巾が大きければ、電車の重心位置に影響し、転覆を誘発する。 （車輪と台車と車体をバネで連結したモデル）で解析をする必要があるかもしれない。 このモデルだと遠心力によりバネが伸縮し、車体重心がカーブの外側に移動する。 |
乗客一人が受ける遠心力
乗客一人が受ける遠心力（Ｅｈ）は Ｅｈ ＝ ｍs×Ｖ２／Ｒ となる。 乗客１人の体重 ms = 60Kg 電車速度 Ｖ ＝ １０８Ｋｍ／時 ＝ ３０ｍ／秒 で計算すると、 Ｅｈ ＝１８０Ｎ ＝ １８．４Ｋｇf となる。 １８ｋｇの物を持つだけでもかなり重い。 鉛直力なら耐えられそうですが、不意に発生する水平力の場合、 立っている人はバランスを崩し、カーブ外側によろける。 乗客に加わった遠心力も、電車全体の重心をカーブ外側に移動させる。 |
非常ブレーキの影響
運転手はカーブ直前で非常ブレーキをかけたようだ。 （８月４日、鉄道事故調査委員会は運転手が非常ブレーキをかけたのではなく、 車体が傾き、自動で非常ブレーキが作動と発表、運転手は常用ブレーキを作動） ブレーキは電車の進行方向に対し力を加える。横方向の力により発生する転倒には 直接関係はないと思われる。 遠心力により、左右レールの支持力が異なる。（外側レール支持力の方が大） そのため、左右レールに発生するブレーキの摩擦力も異なる。 支持力（Ｆ）によって生ずる摩擦力（Ｑ）は （クーロンの摩擦法則：摩擦力は支持力に比例する。） Ｑ ＝ μ’Ｆ μ’： レール・車輪間の動摩擦係数 （車輪はレール上を滑っている状態なので動摩擦係数となる。 物体が動き出す直前の摩擦力を最大静摩擦係数（μ）と言う。 動摩擦係数＜最大静摩擦係数） 動摩擦係数は速度に無関係な値とされているが、実際に測定すると、数％は変動 する場合もある。 スチックスリップ現象と言う摩擦力が周期的に大きく変動する現象が現れることもある。 摩擦力は電車進行方向逆向きに作用する。 外側レールの摩擦力をＱ１、内側レールの摩擦力をＱ２とすると、 （Ｑ１＞Ｑ２） Ｑ１ ＝ μ’Ｆ１ Ｑ２ ＝ μ’Ｆ２ NQ = R×（Ｑ１－Ｑ２） の回転モーメントが発生する。 しかしながら、この回転は鉛直軸回りに作用する。 「この回転力により、電車が転覆した」と言う記事があった。 これは誤りである。 電車の進行方向軸回りの回転モーメントであれば、電車の転覆に影響を及ぼすが、 鉛直軸回りの回転モーメントは電車の転覆に影響しない。  鉛直軸回りの回転モーメントは前輪と後輪のレール反力とつり合う。  せり上がり脱線、乗り上がり脱線の場合、車輪とレール間の摩擦力が影響するため、 非常ブレーキの影響は大きい。 今回は、転覆脱線のようである。脱線防止ガード設置も効果がない。 しかしながら、回転運動する物体はジャイロスコープ効果で倒れにくい。 （走行中の自転車が転倒しにくいのも同じ） 非常ブレーキで車輪の回転を止めるとジャイロスコープ効果はなくなる。 （今回の計算では、この効果を考慮していない） |
車両間に働く力
車両はレールからの力、遠心力、重力以外に車両間に働く力を受ける。 車両間は連結器で結合されているが、基本的に進行方向の力しか伝達しない。 力は下記６成分に分解できる。 ①進行方向の力 ②水平方向の力 ③鉛直方向の力 ④進行方向ねじりの力 ⑤水平方向軸に対する曲げの力 ⑥鉛直方向軸に対する曲げの力 連結器は①の力のみ伝達するよう作られている。 曲げの力に対して、連結器を無抵抗にしておかないと、電車はカーブで曲がれません。 力の方向はどちらの車両が牽引（モーター付）しているかによる。 車両Ａがモーター付 車両Ｂは車両Ａを引っ張る。 車両Ｂがモーター付 車両Ｂは車両Ａを押す。 作用・反作用の法則 車両Ａが車両ＢからＳの力を受けている場合、 車両Ｂは車両Ａから－Ｓ（大きさは同じで、向きは逆）の力を受けている。 結局のところ、車両間の力は進行方向の力のみ、そのため、互いの片輪走行には 影響しない。 ただし、前の車両が脱線してしまうと、後ろの車両はその方向に引きずられる。 脱線した電車の車両編成 前から ２６ｔ － ３５ｔ － ３２ｔ － ２６ｔ － ３６．９ｔ － ２４ｔ － ２６ｔ の７両編成となっていた。 ２、３、５両目は重量の大きいモーター付車両である。 重量の重いモータ付車両は相対的に乗客重量の影響も少なく、重心も低いため、 他の車両より安定が良い。 先頭車両が脱線すると、後続車両もそれに引きずられ、脱線する可能性が大である。 重量が重く、重心が低い車両を先頭車両にするのがベターと思われる。 （後続車両が先に脱線しても、前の車両に引きずられ、ＪＲ敷地外へ飛び出すことは なかったかもしれない） |
重心移動
ここでの計算は、車輪、台車、本体が一体となった剛体モデルを想定している。 剛体とは外力に対し、硬くて全く変形しない仮想の物体を言う。 実在の物体は外力に対し、伸び、縮み、曲げ、ねじれなどの変形を生じる。 硬い鋼鉄でも少しは変形する。 変形を考慮した物体（固体）のことを弾性体と言う。 剛体では変形を考慮しないため、重心位置も固定されてしまう。 実際の電車は、乗りごこちを考慮して、車輪、台車、本体間をやわらかなバネで 連結している。（ボルスタレス台車） そのため、遠心力や走行中の横揺れにより、重心移動が起こる。 この重心のずれ量が転覆に大きく寄与したと思われる。 重心のずれが１０ｃｍ程度あると思われる。 重心を外側へ０．１ｍ（１０ｃｍ）ずらしただけで、電車は時速１０８Kmで転覆する。 構造解析プログラムを使用し、このずれ量を算出したいが、 形状寸法、バネ定数など調査する必要がある。 ＪＲ西日本、事故調査委員会は荷重載荷実験を行い、この重心移動量を測定すべき である。 |
標準軌での転覆速度
レール間隔の狭軌は狭すぎる。新幹線で使用されている標準軌(1.435m)の場合も検討した。 同一条件で転覆速度を比較した。(図７)  図７ 時速１３０Ｋｍ強で電車の転覆が始まる。狭軌よりも時速１５Ｋｍ程度転覆速度に余裕がある。 標準軌の場合、時速１０８Ｋｍでは転覆しないと思われる。 |
カーブ半径の影響
カーブ半径を変化させた場合の電車転覆速度をグラフにした。(図８）  図８ 当然、カーブ半径が大きいと転倒速度も増加する。 |
電車質量の影響
電車質量は転覆速度に無関係であることは、方程式からわかるのだが、 確認のため電車質量の影響をグラフにした。(図９)  図９ 図９より、電車質量が電車転覆速度に無関係であることが読み取れる。 |
重心高さの影響
| ここでの計算とＪＲ西日本発表の脱線速度１３３Ｋｍ／時との違いは重心高さの違いによるものである。 （電車重量は脱線速度に影響しない） ＪＲの計算も乗客重量による重心移動を考慮していないようである。 そこで、重心高さと脱線速度の関係をグラフにした。(図１０)  図１０ 重心が高くなるほど、不安定となり、電車転覆速度が低くなる。 JR西日本は重心高さ1.5mあたりに設定し、計算したようだ。 |
外側方向重心ずれ量の影響
| カーブの外側方向への重心ずれ量と電車転覆速度の関係もグラフにした。（図１１）  図１１ 図１１より、電車の重心が外側方向に１０ｃｍ程度移動した時、電車は時速１０８Ｋｍで転覆する。 外側方向１０ｃｍの重心移動は乗客１００人の内側方向５０ｃｍ移動すれば相殺できる程度の量です。 乗客１００人全員がカーブ内側に移動すれば、ぎりぎり、電車の転倒を防げたかもしれません。 （ヨットでは乗人は船が転覆しないよう、体重移動をするが、電車では乗客はこんな対応をとらない。） |
結論
電車速度、カーブ半径、カント量、レール間隔が正しいと仮定すると、 最大の原因はカーブ外側方向への重心移動量である。 重心が外側方向に１０ｃｍ程度移動した時、電車は時速１０８Ｋｍで転覆する。 |
（１） 剛体モデルでの計算 重心が固定された剛体モデルでの計算では、電車は時速１２０Ｋｍで片輪走行となる。 片輪走行が始まると転覆は不可避となり、必ず転覆する。 （２） 電車重心位置の移動 電車の重心位置が転覆するかどうかを決定する。 乗客の重量、網棚の荷物で重心が高くなり、不安定となる。 また、電車は乗りごこちを良くするため、車輪、台車、本体を柔らかなバネで連結している。 （ボルスタレス台車） 走行時の横揺れ、遠心力により電車は変形し、重心はカーブの外側方向に移動する。 重心が外側方向に１０ｃｍ程度移動した時、電車は時速１０８Ｋｍで転覆する。 電車重心がカーブ外側に１０ｃｍ以上移動したと思われる。 高さ方向の重心移動量と比較して、水平方向の重心移動量が転覆速度に与える影響は大きい。 重心が高くなると、遠心力による転倒モーメントは増大するが、軌道面の傾斜（カント）が原因で 重心位置が少し内側に寄り、転倒を抑える重量のモーメントも増加する。 また、車両重量の軽量化に伴い、乗客の重量が無視できない。 外側方向１０ｃｍの重心移動量は乗客１００人が内側方向へ５０ｃｍ移動すれば相殺できる程度の量である。 乗客１００人全員がカーブ内側に移動すれば、ぎりぎり、転倒を防げた可能性もある。 しかしながら、体重６０ｋｇの人はカーブ外側方向に１８．４Ｋｇの遠心力を受ける。 その上、電車はすぐに尼崎駅に到着する。東海道本線への乗換客がカーブ外側のドアー付近に集中する。 乗客が電車重心を２ｃｍ程度外側に移動させ、転覆速度を４～５Ｋｍ／時程度減少 させた可能性もある。（原因のほとんどは遠心力による重心移動と思われますが） （３） トレーラー転覆事故の事例 過去に発生した（カーブでのトレーラー転倒事故も同じ原因）との読者からのコメントも寄せられた。 剛体モデルで計算すると制限速度では転覆しないが、車体のバネとタイヤのへこみを考慮したら、 制限速度でも簡単に転覆すると言う結果が得られた。（掲載中） |
Excelを用いた地球温暖化計算
現状の二酸化炭素濃度を370ppmとしたときの濃度と大気温度変化のグラフ
| 地球温暖化による海面上昇計算 | 北極の氷がとけると海面は上昇する？地上の氷がすべてとけると海面は何m上昇する？海水温が１℃上昇すると水の熱膨張により海面は何m上昇する？大気温度が１℃上昇すると飽和水蒸気圧は上昇する。その結果、海水の蒸発により海面は何m下降する？ |
| 地球上の海水、氷、大気の熱容量計算 | 海水、氷は大気と比較して暖めにくく冷めにくい。大気温度を数℃上昇させる程度の熱エネルギーにより、はたして海水温度が上昇し、氷がとけるのか？海水、氷、大気の熱エネルギー(熱容量)を計算し、比較検討する！ |
| 温室効果ガス(二酸化炭素、水蒸気)による熱放射の吸収率推定 | 地球温暖化の原因といわれる温室効果ガスに関して、ステファン・ボルツマンの法則に基づき地表からの熱放射の吸収率を推定する。 |
| 二酸化炭素濃度(ppm)の増加に伴う大気温度変化の計算 | 現在の二酸化炭素濃度(370ppm)が増加した場合、その放射吸収率の変化より、大気温度変化を推定する。 |
エクセルで操る！沖ノ鳥島桟橋転覆事故計算
2014年3月、沖ノ鳥島で設置中の桟橋が転覆し、数名の死傷者がでました。犠牲者のご冥福をお祈り申し上げます。 桟橋の転覆は単純な力学問題であり、Excelを用いて２時間程度計算が可能である。 船は傾くとその重心と浮心が移動する。浮心が重心より外側に移動すると、復元力が働き船は転覆しない。 逆に、重心が浮心より外側に移動すると、船は転覆する。 そこで、桟橋が傾いたときの重心位置と浮心位置を計算し、転覆の有無を検討する。 |
福島原発事故シミュレーション
Excelを用いた科学技術計算
科学技術計算の９０％はEXCELで対応できる！
Excelを用いた科学技術計算のリンク集
科学技術関係、Excel関係のウェブからの相互リンクを歓迎します。
Excelを用いた構造力学(材料力学)計算
Excelのソルバーを用いた科学技術計算
Excelのソルバーを用いた最小作用の原理に基づく質点の軌道計算
大発見、Excelのソルバーで質点の軌道計算ができる！
Excelを用いた確率・統計計算
エクセルを用い平均値と標準偏差から偏差値を計算する
エクセルを用いた相関係数と回帰直線の計算
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