エクセルのソルバーを用い3つの円に接する円(3接円)を計算する

        

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             図1 3接円のグラフ               

3円の定義


3接円を求めましょう。3接円の中心と半径を求めることは解析的に困難です。

でも、エクセルソルバーを使えば容易に求まります。

円1は中心座標(xc1,yc1)とその半径(R1)で表現できます。

円2は中心座標(xc2,yc2)とその半径(R2)で表現できます。

円3は中心座標(xc3,yc3)とその半径(R3)で表現できます。



3接円の中心を仮定し、半径を求める



3接円の中心4(xc4,yc4)を仮定します。

3円の中心から中心4までの距離を求めます。

L1 = √( (xc4-xc1)2 + (yc4-yc1)2 )
L2 = √( (xc4-xc2)2 + (yc4-yc2)2 )
L3 = √( (xc4-xc3)2 + (yc4-yc3)2 )

 L1:中心1から中心4の距離
 L2:中心2から中心4の距離
 L3:中心3から中心4の距離

3接円の半径(R4)は

 L1 - R1
 L2 - R2
 L3 - R3

となり、全て値が異なります。

ソルバーの制約条件として、3半径が一致するように設定し、中心座標(xc4,yc4)を変化させます。


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エクセルのソルバーを用い3接円を求める


 円1の半径 R= 2.5 , 中心(xc1,yc1) = ( -0.5, 2) とする。

 円2の半径 R= 1.5 , 中心(xc2,yc2) = ( 1, 7) とする。

 円3の半径 R= 2.5 , 中心(xc3,yc3) = ( 5, 3) とする。

3節円の中心を(2,4)と仮定し、3個の半径を計算します。半径(L1-R1)で円4を作図した。


                 図2 三接円の例題(ソルバー実行前)

3個の半径が一致しないため、円4は円1にしか接しません。

メニューバーでツール→ソルバーをクリックすると、図3のパラメータ設定があらわれます。
そこで、変化させるセルを(xc4,yc4)とし、(L1-R1) - (L2-R2) を目的セルとし目標値を0に設定し、L2-R2 = L3-R3 の制約条件を設定します。


          図3 ソルバー:パラメータ設定画面

ソルバーを実行すると、図4のように、3接円の半径値が一致(1.17762)し、3接円が求まりました。


                  図4 三接円の例題(ソルバー実行後)


 





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