EXCELのソルバーを用いた幾何学的非線形解析

        


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幾何学的非線形



 上図のような、3点が固定されたY字型の構造物があり、中点にX方向水平力(F)を加えた場合を考えます。

 構造物が鋼鉄のような物質の場合、変形は微小です。

 しかしながら、ゴムのような柔らかい物質の場合、大きく変形します。

 有限要素法(FEA)の線形計算は、この変形量が微小であるという前提に立ち、変形前の座標でつり合い計算をしています。

 変形前と変形後の座標が大きく異なる場合、変形後の座標でつり合い計算をする必要がある。

 変形後座標でのつり合い計算は非線形となります。材料の性質による非線形と区別し、これを幾何学的非線形といいます。


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フックの法則


 部材に加えられた力(F)は伸び量(x)に比例する。その比例定数がバネ定数(k)である。

   F = k・x  ・・・・ フックの法則

 部材が長い棒状の場合、バネ定数は

 k = E・A/L

 E : ヤング率
 A : 部材の断面積
 L : 部材長さ

部材が大きく伸びた場合、塑性します。大きな力で圧縮すると、座屈します。
この場合、フックの法則(線形)には従いません。これらを材料非線形といいます。

今回の計算では、材料非線形は考慮しません。



力のつり合い計算

 
 F : 水平力  0.05kN
 E : ヤング率 20kN/m
 A : 部材断面積 0.001m2

とします。

つり合い後の中心座標値を(1,2)と仮定し、中心点回りのつり合い力を計算してみましょう。



変形前、変形後の座標から、変形前、変形後の部材長=√(X方向距離2+Y方向距離2)を求める。
部材の伸び量 = 変形後の部材長 − 変形前の部材長
となり、部材の伸び量からフックの法則に基づき、部材力を計算する。
部材力と荷重値の水平垂直成分を集計します。



変形後の座標が仮定であるため、部材力成分が0となりません。
そのため、変形後の座標ではつり合いません。試行錯誤でつり合い座標を算出するのは大変です。



ソルバーによるつり合い座標の算出


 それでは、ソルバーを使ってつり合い座標を求めて見ましょう。
ソルバーをインストールしていない場合、ツールーアドインで追加して下さい。

目的関数=(X方向力)2+(Y方向力)2を最小にします。
変化させるセルは変形後の座標値です。

メニューバーのツール - ソルバーを選択して下さい。



実行ボタンをクリックすると、計算結果がEXCEL上に反映されます


みごとに、部材力成分は0となりました。



あなたの保有しているFEAが同じ解を算出するか、確かめて見ましょう。



 





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