エクセルを用いた弾性主軸が傾く断面の応力計算(断面性能マトリックス計算)


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図1 任意形状の断面


 弾性主軸が傾く断面の応力を求める場合、断面重心と弾性主軸の傾き角を求め、重心を原点とし弾性主軸回りに回転した座標系で応力計算をおこなうのが一般的である。ここでは断面形状の座標系をその使い、断面性能マトリックスを用いた断面応力の計算法を示す。



断面力と応力の関係式をマトリックス表記する


 図1のような任意形状の断面に下記の断面力(N,My,Mx)を加えた場合の応力を考える。

       N : 軸力
       My: y軸回りのモーメント
       Mx: x軸回りのモーメント

応力(σ)と座標(x,y)の関係を(1)式(線形)と仮定する。

  σ = a + bx + cz    ・・・・・ (1)

          a,b,cは係数

 作用、反作用の法則(外力=内力)より、次式が成立する。

  N = ∫σdA      ・・・・・ (2)

  My = ∫xσdA     ・・・・・ (3)

  Mx = ∫yσdA     ・・・・・ (4)

          dA : 積分用の微小断面積

 (1)を(2)(3)(4)式に代入すると次式となる。

  N = A・a + Sy・b + Sx・c     ・・・・・ (5)

 My = Sy・a + Iy・b + Ixy・c   ・・・・・ (6)

  Mx = Sx・a + Ixy・b + Ix・c   ・・・・・ (7)

        A = ∫dA    : 断面積
        Sy = ∫x dA  : y軸回りの断面1次モーメント
        Sx = ∫y dA  : x軸回りの断面1次モーメント
        Iy = ∫x2 dA : y軸回りの断面2次モーメント
        Ix = ∫y2 dA : x軸回りの断面2次モーメント
        Ixy = ∫xy dA : 断面相乗モーメント

 (5)(6)(7)式をマトリックス表記すると(8)式となる。

  

  (8)式のマトリックスを断面性能マトリックスと称することとする。

 (8)式を展開した(9)式により係数a,b,cが計算され、この係数から(1)式を用い任意位置の応力が計算できる。

  



断面性能マトリックスを用いたL型断面の応力計算

図2 L型断面


図-2のような、弾性主軸が傾くL型断面の応力計算を行う。


                     図-4 ExcelによるL型断面の応力計算



 



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