梁の応力と断面性能(断面積、断面2次モーメント、断面係数)の計算

        

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応力の定義




応力は単位面積あたりの力である。

図1のように、軸力(N)で引張られる梁を考える。

梁の断面積をAとすると、梁の断面に発生する応力(σ)は

  
σ = N/A     となる。


        


計算力学ハンドブック(第1巻)

Excelで解く構造力学

材料力学史
著者:ステファン・P.チモシェンコ



許容応力



 梁を大きな軸力で引張っても、その断面積が大きければ梁は破壊されない。

梁の安全性の指標となるものは、断面に発生した応力である。(軸力ではない)

法律、法規には、許容応力(σa)が設定されている。

この許容応力は材質(鋼、軟鉄、コンクリート、木等)により異なる。

許容応力度設計法では

 
 断面に発生する応力(σ) < 許容応力(σa)

を検証する必要がある。




曲げモーメントにより発生する応力



図2


 断面に曲げモーメントを加えた場合、図2のように、断面の上部は引張応力が発生し、

下面部には圧縮応力が発生する。

 この応力分布の面を平面(線形)と仮定すると、

  σ(x) = k・x    とおける。

      σ(x) : 断面中心(重心)からxの距離にある断面の応力
         k: 係数

曲げモーメントをMとすると、力のつり合いの法則より、

  M = ∫σ(x)xda    daは全断面で積分するという意味である。

  M = k ∫x2 da

  I=∫x2 daとおくと
     Iは断面2次モーメント(後述)

係数kは

 k= M/I となり、

断面中心(重心)からxの距離にある断面の応力σ(x)は

 σ(x) = (M/I)・x となる。



矩形の断面2次モーメント




断面2次モーメントは断面形状により、算出式が異なる。

図3の矩形の断面2次モーメント(I)を計算する。

 I = ∫ x2 da

 da は赤色部分の面積であるため、da = a・dx となり、


 I = ∫ ax2 dx  積分区間[-b/2〜b/2]     となる。

これを定積分すると

 
I = ab3/12  となる。



断面性能による応力計算



梁の断面積、断面2次モーメントは断面の性能を示すものであり、

断面性能と呼ばれる。

 断面に軸力(N)、曲げモーメント(M)が作用するとき、中心軸からx距離の

断面応力(σ)は

 σ = N/A + (M/I)・x

                 A : 断面積
                 I : 断面2次モーメント
となる。



断面係数による応力計算


 中心軸から最も離れた断面内位置で、応力値が最大(最小)となる。

矩形断面の場合、中心軸から±b/2距離にあたる。

設計者が検討するのは、断面内の最大、最小応力である。

そこで、断面係数(Z)を

 Z = I/(b/2)  と定義する。

断面に軸力(N)、曲げモーメント(M)が作用するとき、

断面最大、最小応力(σ)は

 σ = N/A ± M/Z

                A : 断面積
                 Z : 断面係数

となる。



A、B断面の応力比較




 高さが巾の2倍あるA断面と、巾が高さの2倍あるB断面に
同じ曲げモーメントを加え、断面に発生する最大応力を比較する。




両断面の断面積は同じですが、B断面の最大応力がA断面の最大応力の2倍となる。



 





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