エクセルを用いたベータ関数の計算と等高線グラフ


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図1 ベータ関数の等高線グラフ

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ベータ関数



 次の積分(オイラーの第1種の積分ともいう)によって定義された関数をベータ関数という。

  B(p,q) = ∫xq-1 /(1+x) p+q dx   ・・・ (1)    積分区間[0,∞]

 x = (1-t)/t とおけば

  B(p,q) = ∫tp-1 ・(1-t) p-1 dt   ・・・ (2)    積分区間[0,1]

 この式でtの代りに1-t とかけば、p,qが交換される。よって、

  B(p,q) = B(q,p)  ・・・ (3)

 ベータ関数はガンマ関数と密接な関係があり、次の公式が導ける。

  B(p,q) = Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)  ・・・ (3)

 参考 : エクセルを用いたガンマ関数の計算


参考文献
自然科学者のための数学概論 増訂版改版
寺澤寛一著

Excel VBA 2007/2003/2002対応


数値解析


Excelを用いたベータ関数の計算



 (3)式より、Γ関数を用いベータ関数が計算できる。エクセル関数にはΓ関数の自然対数 GAMMALN(z)があり、この関数を使用すると、ベータ関数は次式となる。

  B(p,q) = EXP(EXP(GANMALN(p)))・EXP(GANMALN(q))/ EXP(GANMALN(p+q))

 この式は指数関数の積と商の公式より、次式となる。

  B(p+q) = EXP(GANMALN(p)+GANMALN(q)-GANMALN(p+q))


 指数関数の積と商の公式

指数関数とうしの積 exey = ex+y

指数関数とうしの商 ex/ey = ex-y


ベータ関数の計算例を図2に示す。


              図2 エクセルを用いたベータ関数の計算



Excelを用いたベータ関数の等高線図(コンター図)作成



 図3のような、ベータ関数表を作成し、この表をグラフ化し、等高線図を作成する。
等高線作成方法は(エクセルの等高線機能を用い関数のコンター図を作成する)を参照してください。


                              図3 ベータ関数表


 

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(Yahoo Japan 掲載)


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