エクセルを用いたベータ関数の計算と等高線グラフ

エクセルを用いたベータ関数の計算と等高線グラフ

Excelを用いた科学技術計算が第2版になりました　30年10月！

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図1　ベータ関数の等高線グラフ

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ベータ関数

　次の積分(オイラーの第１種の積分ともいう)によって定義された関数をベータ関数という。

　　B(p,q) = ∫x^q-1 /(1+x) ^p+q dx 　　・・・　(1) 　　　積分区間[0,∞]

　x = (1-t)/t とおけば

　　B(p,q) = ∫t^p-1 ・(1-t) ^p-1 dt 　　・・・　(2) 　　　積分区間[0,1]

　この式でtの代りに1-t とかけば、p,qが交換される。よって、

　　B(p,q) = B(q,p)　　・・・　(3)

　ベータ関数はガンマ関数と密接な関係があり、次の公式が導ける。

　　B(p,q) = Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)　　・・・　(3)

　参考：　エクセルを用いたガンマ関数の計算

参考文献
自然科学者のための数学概論増訂版改版
寺澤寛一著

Excel VBA 2007／2003／2002対応

数値解析

Excelを用いたベータ関数の計算

　(3)式より、Γ関数を用いベータ関数が計算できる。エクセル関数にはΓ関数の自然対数 GAMMALN(z)があり、この関数を使用すると、ベータ関数は次式となる。

　　B(p,q) = EXP(EXP(GANMALN(p)))・EXP(GANMALN(q))/ EXP(GANMALN(p+q))

　この式は指数関数の積と商の公式より、次式となる。

　　B(p+q) = EXP(GANMALN(p)+GANMALN(q)-GANMALN(p+q))

　指数関数の積と商の公式

指数関数とうしの積　e^xe^y = e^x+y

指数関数とうしの商　e^x/e^y = e^x-y

ベータ関数の計算例を図２に示す。

　　　　　　　　　　　　　　図2 エクセルを用いたベータ関数の計算

Excelを用いたベータ関数の等高線図（コンター図）作成

　図3のような、ベータ関数表を作成し、この表をグラフ化し、等高線図を作成する。
等高線作成方法は(エクセルの等高線機能を用い関数のコンター図を作成する)を参照してください。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図3 ベータ関数表

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