エクセルを用いたガンマ関数の計算

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図1 ガンマ関数のグラフ

ガンマ関数


 次の積分(オイラーの第2種の積分という)によって定義された関数をΓ(ガンマ)関数という。

  Γ(z) = ∫e-ttz-1 dt   ・・・ (1)    積分区間[0,∞]

 部分積分により

  ∫e-ttz dt = z∫e-ttz-1 dt

 すなわち次の公式を得る。

  Γ(z+1) = zΓ(z)   ・・・ (2)

 Γ(1) = 1 であることから

  Γ(n+1) = n(n-1)(n-2) ・・・3,2,1 = n!  ・・・ (3)

      nは整数、0!=1 と約束する。

また、Γ(1/2) = √π となる。

エクセル関数にはΓ関数の自然対数 GAMMALN(z)がある。そのため、ガンマ関数は EXP(GAMMALN(z))となる。ただし、zは正領域しか計算できない。

 負領域のガンマ関数を計算する方法
 
 (2)式から次式が導かれる。

  Γ(z) = Γ(z+1)/(z)    ・・・ (4)

(4)式よりzが[-1:0]領域のΓ関数が計算できる。だだし、-1ではΓ関数は発散する。

一般的に次式で[-n:-n+1]領域のΓ関数が計算できる。だだし、nは正整数で、-nではΓ関数は発散する。

  Γ(z) = Γ(z+n+1)/{z(z+1)(z+2) ・・・ (z+n)}   ・・・ (5)


参考文献
自然科学者のための数学概論 増訂版改版
寺澤寛一著

ご冗談でしょう、ファインマンさん〈上〉 (岩波現代文庫)
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Excelを用いたΓ関数の計算



 図2のように、zの領域を分け、エクセル関数を使用し、Γ関数を計算した。


              図2 エクセルを用いたΓ関数の計算
 


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