エクセルを用いた金融・証券のためのブラック・ショールズ偏微分方程式の計算

エクセルを用いた金融・証券のためのブラック・ショールズ偏微分方程式の計算

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ブラック・ショールズ微分方程式

　金融・証券のためのブラック・ショールズの偏微分方程式は次式である。

　　γf(S,t) = δf/δt + (1/2)・(δf²/δS²)σ²S² + γ(δf/δS)S　・・・　(1)

　　　　　　　　　S　：株式の株価
　　　　　　　　　t　：時間
　　　　　　　　　f(S,t)　：時間t,株価Sにおけるコールオプションの価格(1株あたり)
　　　　　　　　　σ　：株価のボラティリティー
　　　　　　　　　γ　：非危険利子率

　ブラック・ショールズの偏微分方程式の解析解は次の公式となる。

　f(S,t) = S・N(u/(σ√x ) +σ√x ) - X・e^-γx・N(u/(σ√x ) )　・・・　(2)

　　　　　u =　log(S/X) + (γ-σ²/2)(T-t)

　　　　　　　　X ：オプションの行使価格
　　　　　　　　T ：満期日
　　　　　　　　x = T-t ：時間tから満期日までの期間

　　　　　　　　N(a) ：　標準正規分布関数

　標準正規分布関数は平均値が0、標準偏差が1の正規分布関数である。エクセルの正規分布関数を用いて、
　
　　NORMDIST(a,平均,標準偏差,関数形式)=NORMDIST(a,0,1,TRUE)

と計算できる。

参考文献
金融・証券のためのブラック・ショールズ微分方程式―微分の初歩からやさしく学べてよくわかる
石村貞夫・石村園子著

ポートフォリオ最適化と数理計画法 (シリーズ・金融工学の基礎)

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コール・オプションとは

　コール・オプションとは、ある物(=原資産)を買う権利のことをいう。原資産が株券の場合は「ある日時に、ある価格で株を買う権利」を意味する。

株券のコール・オプションの例

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　権利行使価格：1000円
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　プレミアム：100円
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　期日：１０月３０日

上の例では、ある株券を１０００円で買うことができる権利(コール・オプション)を示している。そして、オプション自体の値段のことを、プレミアムという。オプションには必ず期日(満期日)がある。

コール・オプションの買い手は、権利行使価格で株券を購入する権利をもつが、必ず買わなければならない義務はない。

一方、コール・オプションの売り手は、コールオプションの買い手の要求に応じて、権利行使価格で株券を売る義務を負う。

Excelを用いたオプション行使価格の計算

　図1の条件でヨーロピアン・コール価格を求める。(ヨーロピアン・コール価格は指定された満期日にしか行使できない)まず、uを計算する。