エクセルを用いた金融・証券のためのブラック・ショールズ偏微分方程式の計算


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ブラック・ショールズ微分方程式


 金融・証券のためのブラック・ショールズの偏微分方程式は次式である。

  γf(S,t) = δf/δt + (1/2)・(δf2/δS22S2 + γ(δf/δS)S ・・・ (1)

         S :株式の株価
         t :時間
         f(S,t) :時間t,株価Sにおけるコールオプションの価格(1株あたり)
         σ :株価のボラティリティー
         γ :非危険利子率

 ブラック・ショールズの偏微分方程式の解析解は次の公式となる。

 f(S,t) = S・N(u/(σ√x ) +σ√x ) - X・e-γx・N(u/(σ√x ) ) ・・・ (2)

     u = log(S/X) + (γ-σ2/2)(T-t)

        X :オプションの行使価格
        T :満期日
        x = T-t :時間tから満期日までの期間

        N(a) : 標準正規分布関数

 標準正規分布関数は平均値が0、標準偏差が1の正規分布関数である。エクセルの正規分布関数を用いて、
 
  NORMDIST(a,平均,標準偏差,関数形式)=NORMDIST(a,0,1,TRUE)

と計算できる。


参考文献
金融・証券のためのブラック・ショールズ微分方程式―微分の初歩からやさしく学べてよくわかる
石村貞夫・石村園子著

ポートフォリオ最適化と数理計画法 (シリーズ・金融工学の基礎)



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コール・オプションとは



 コール・オプションとは、ある物(=原資産)を買う権利のことをいう。原資産が株券の場合は「ある日時に、ある価格で株を買う権利」を意味する。

株券のコール・オプションの例



                             権利行使価格:1000円
                             プレミアム:100円
                             期日:10月30日

上の例では、ある株券を1000円で買うことができる権利(コール・オプション)を示している。そして、オプション自体の値段のことを、プレミアムという。オプションには必ず期日(満期日)がある。

コール・オプションの買い手は、権利行使価格で株券を購入する権利をもつが、必ず買わなければならない義務はない。

一方、コール・オプションの売り手は、コールオプションの買い手の要求に応じて、権利行使価格で株券を売る義務を負う。



Excelを用いたオプション行使価格の計算



 図1の条件でヨーロピアン・コール価格を求める。(ヨーロピアン・コール価格は指定された満期日にしか行使できない)まず、uを計算する。


            図1 計算条件とuの計算

 次に、正規分布関数のパラメータを計算する。


          図2 正規分布関数のパラメータ計算

 次に正規分布関数を計算する。


             図3 正規分布関数の計算

 最後に、コールオプションの行使価格を計算する。


           図4 コールオプション価格の計算



権利行使価格とオプション価格の関係



図5 権利行使価格とオプション価格の関係


 Excelを用いて、権利行使価格とオプション価格の関係図を作成した。


        図6 Excelを用いた権利行使価格とオプション価格の関係計算



 



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