エクセルで操る!ヤコビ法による固有値計算、固有ベクトル計算

        

Excelを用いた科学技術計算が書籍になりました 好評につき27年11月重版9刷!


 丸善出版事業部HPよりExcelデータをダウンロードできます
好評発売中 丸善出版 出版 \2200

amazon:Excelで操る! ここまでできる科学技術計算

楽天:Excelで操る! ここまでできる科学技術計算


固有値と固有ベクトル


 n×n行列Aに対して

  Ax = λx  x0    ・・・ (1)

を満たす時、λをAの固有値、xを固有ベクトルという。


たった1日で即戦力になるExcelの教科書

入門者のExcel VBA―初めての人にベストな学び方 (ブルーバックス)


行列の対角化


 行列Aは相似変換によって対角行列にすることができる。Aが対称行列ならば、各固有値に対応する固有ベクトルは直交する。
 対角行列:対角成分以外の成分が0の行列
 対称行列:p行q列とq行p列の成分が一致する行列

 ある正則な行列Sによって、下記の行列を作る。

  D = S-1AS  ・・・(2)

 この変換を相似変換といい、相似変換により固有値や固有ベクトルは変化しない。

 Aの固有値をλ1,λ2,・・・,λnとし、対応する固有ベクトルをx1,x2,・・・,xnとすると、次式が成立する。

  Axi = λixi (i=1,2,・・・,n) ・・・(3)

 ここで、固有ベクトルを使いSを作る。

  S = [x1,x2,・・・,xn]  ・・・(4)

 この時、Dは対角行列となり、その対角成分は固有値となる。

 Aが対称行列の場合、固有ベクトルxiの大きさを1(規格化)にすると、Sは直行行列となり、その逆行列は転置行列となる。

  S-1 = St  ・・・(5)

 よって、このSを求めることのより、固有値と固有ベクトルが算出できる。



ヤコビ法を用いた固有値、固有値計算


 ヤコビ法は実対称行列Aの固有値と固有ベクトルを求める方法である。

@ マトリックスAの非対角成分で絶対値が最大の成分(apq)を探す。

A 成分(apq)をピボットにし、面内回転を行う。

 回転角をθとすると、次式となる。

 tan(2θ) = 2apq/(app - aqq)

 θ= atan2(app-aqq, 2apq)/2   ・・・ (6)

 注) Excel関数 atan(y/x)を用いると、x=0のときエラーとなる。それを避けるため、Excel関数 atan2(x,y)を使用する。

 回転マトリックスS1

 単位マトリックスのp,qの行列に下記回転成分を追加する。

 spp = cos(θ)
 spq = -sin(θ)
 sqp = sin(θ)
 sqq = cos(θ)

 回転を行う。

 A2 = S1tAS1   ・・・・ (7)

B Aiに対し、@、Aの処理をAiが対角行列になるまで、繰り返す。

 Ar+1 = SrtArSr   ・・・・ (8)

 S = S1S2・・・Sr  ・・・・(9)

 これで、固有値と固有ベクトルが求まった。



Excelを用いたヤコビ法の1回目の計算


 図1にExcelを用いたヤコビ法の1回目の計算例題を示す。


  図1 Excelを用いたヤコビ法の1回目の計算例題



ヤコビ法のVBA


 ヤコビ法の繰返し計算を行うためにVBAを作成した、そのソースコードを示す。

' ヤコビ法による固有値解析
Sub yacobi()
Dim i As Long
Dim n As Long
Dim j As Long
Dim k As Long
Dim im As Long
Dim jm As Long
Dim amax As Double
Dim q As Double
Dim a() As Double
Dim sr() As Double
n = Cells(3, 3).Value
ReDim a(n, n)
ReDim sr(n, n)
' 初期設定
For i = 1 To n
 For j = 1 To n
  a(i, j) = Cells(i + 5, j + 1).Value
 Next
Next
For i = 1 To n
 For j = 1 To n
  If i = j Then
   sr(i, j) = 1
  Else
   sr(i, j) = 0
  End If
 Next
Next
For i = 1 To n
 For j = 1 To n
  Cells(i + 21, j + 1).Value = sr(i, j)
 Next
Next
' 繰返し
For k = 1 To 100
' 最大値の探索
 amax = 0#
 For i = 1 To n - 1
  For j = i + 1 To n
   If Abs(a(i, j)) > amax Then
    amax = Abs(a(i, j))
    im = i
    jm = j
   End If
  Next
 Next
 If amax < 0.0000001 Then Exit For
 ' Arの設定
 For i = 1 To n
  For j = 1 To n
   Cells(i + 11, j + 1).Value = a(i, j)
  Next
 Next
 ' 最大値の取出し
 Cells(6, 6).Value = a(im, im)
 Cells(6, 7).Value = a(im, jm)
 Cells(7, 6).Value = a(jm, im)
 Cells(7, 7).Value = a(jm, jm)
 ' Srの設定
 q = Cells(9, 7).Value
 For i = 1 To n
  For j = 1 To n
   If i = j Then
    sr(i, j) = 1
   Else
    sr(i, j) = 0
   End If
  Next
 Next
 sr(im, im) = Cos(q)
 sr(im, jm) = -Sin(q)
 sr(jm, im) = Sin(q)
 sr(jm, jm) = Cos(q)
 For i = 1 To n
  For j = 1 To n
   Cells(i + 11, j + 5).Value = sr(i, j)
  Next
 Next

 ' Sのコピー
 For i = 1 To n
  For j = 1 To n
   sr(i, j) = Cells(i + 21, j + 5).Value
  Next
 Next
 For i = 1 To n
  For j = 1 To n
   Cells(i + 21, j + 1).Value = sr(i, j)
  Next
 Next
 ' Ar+1の取出し
 For i = 1 To n
  For j = 1 To n
   a(i, j) = Cells(i + 16, j + 1).Value
  Next
 Next

Next
' 繰返し終了
End Sub






エクセルで操る!ヤコビ法による固有値、固有ベクトル計算

 
 ボタンにマクロを登録し、計算実行を行った。計算結果の対角マトリックスより、固有値は6.82843, 2, 1.17157となる。
固有ベクトルはマトリックスSの列となる。


 図2 ヤコビ法による固有値計算、固有ベクトル計算結果



エクセルで操る!ベアストウ法による固有値計算、固有ベクトル計算

エクセルで操る!べき乗法による固有値計算、固有ベクトル計算

 





EXCELを用いた科学技術計算

EXCELのソルバーを用いた科学技術計算



〒673−0036 兵庫県明石市松江62−14
(有)ゴッドフット企画



感想をお聞かせ下さい


Copyright (C) GODFOOT 2013 All Rights Reserved.