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エクセルで操る！べき乗法による固有値計算、固有ベクトル計算

Excelを用いた科学技術計算が第2版になりました　30年10月！

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固有値と固有ベクトル

　n×n行列Aに対して

　　Ax = λx　　x ≠0 　　　・・・ (1)

を満たす時、λをAの固有値、xを固有ベクトルという。

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べき乗法による固有値計算、固有ベクトル計算

　べき乗法は、絶対値が最大の固有値とその固有ベクトルのみを算出する。

行列Aの固有値(λi)と対応する規格化された固有ベクトル(xi)より、任意のベクトル(u0)は次のようにあらわせる。

　　u0 = Σaixi　　　　・・・(2)

(2)式の両辺に行列Aを掛けると次式になる。

　　u1=Au0=Σaiλixi　　・・・(3)

次に、u1ベクトルの大きさを１(規格化)し、次式のように反復計算を行う。

　　u2=Au1 　　　・・・(4)

反復回数が十分大きいrに達した時、次式となる。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　_n
　　ur = Au(r-1) = A^ru0 = Σaiλi^rxi = λ1^r[a1x1 + Σai(λi/λ1)^rxi] 　　・・・(5)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⁱ⁼²
　λ1が絶対値最大の固有値の場合、rを十分大きくすると(λi/λ1)^r は0に近づく。よって(5)式は(6)式と置ける。

　　ur ≒ λ1^rx1 　　・・・(6)

　すなわち、urを規格化すれば、固有ベクトルとなる。

　また、固有値は次式となる。

　λ1 = (ur,ur+1)/(ur,ur) = (ur,ur+1)　　　・・・(7)

Excelを用いたべき乗法の１回目の計算

　図1にExcelを用いたべき乗法の１回目の計算例題を示す。行列の次数は３で、初期ベクトルu0=(1,0,0)とする。