エクセルで操る！ベアストウ法による固有値計算、固有ベクトル計算

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n×n行列Aに対して 　　Ax = λx　　x ≠0 　　　・・・ (1) を満たす時、λをAの固有値、xを固有ベクトルという。 固有値は次式から算出できる。 　｜A-λI｜= 0　　　　　　　・・・(2) 　(2)式はn次の代数方程式となり、n次方程式を解けば、固有値は求まる。

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固有値を求めるn次方程式を 　xn + a1xn-1 + ・・・・ + an = 0 とすると、するとその係数は下記となる。 　a1 = -tr( A ) 　trはトリムといい、マトリックスの対角成分の和である。 　H1 = A + a1I 　a2 = -tr(A×H1)/2 　Hk-1 = A×Hk-2 + ak-1I 　ak = -tr(A×Hk-1)/k 　Excelを用いた3次マトリックスにおける固有値方程式の係数計算の例を示す。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　図1 Excelを用いた固有値の方程式の計算例

例題の3次代数方程式の根を求め、固有値を算出しよう。 　適当なp,qを設定し、方程式の係数からbnとR,Sを算出する。 　　　　　　　　　　　　　　図２　ソルバー実行前 メニューバーのツール−ソルバーを選択すると、図３のソルバー：パラメータ設定画面が表示される。 変化させるセルをp,qとし、目的セルをRに設定し、目標値を0に設定し、制約条件として、S=0を設定する。 　　　　　　　　　図3 ソルバーのパラメータ設定画面 　ソルバーを実行すると、R,Sが０となるp,qが算出され、２根が求まる。 　計算結果から、固有値は　-0.44949,　-5,　4.44949 であることがわかる。 　ベアストウ法を用いると、固有値が複素数の場合でも対応ができる。 　　　　　　　　　　　　　　　　図4　ソルバー実行後

固有値(λ)と固有ベクトル(x)の関係は次式となる。 　(A-λI)x= 0　　　　　　　・・・(6) 図5のように、固有値を-5　とし、適当な固有ベクトルを設定し、(6)式の左辺を計算しても、0にはならない。 　　　図5 適当な固有ベクトルで計算した結果 メニューバーのツール−ソルバーを選択すると、図6のソルバー：パラメータ設定画面が表示される。 変化させるセルを固有ベクトルとし、目的セルをベクトル(A-λI)xの２乗和に設定し、目標値を最小値に設定し、制約条件として、固有ベクトルが０にならないよう、固有ベクトルの２乗和を１に設定し、規格化する。 　　　　　　　　図6 ソルバーのパラメータ設定画面 　ソルバーを実行すると、(A-λI)xが０となる固有ベクトルが算出される。 　他の固有値に対応する固有ベクトルも同様に計算できる。 　　　　　図7 固有ベクトル計算結果

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