エクセルを用いた等差数列・等比数列の和
(連続試合安打の継続数は無限等比級数)

        

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図 連続試合安打の継続数は無限等比級数

等差数列


 1,3,5,7,9,11,・・・ のように隣り合う項の差(公差)が等しい数列を等差数列という。初項(一番最初の項)がa1で、交差がdである等差数列のn番目の項(an)は次式となる。

  an = a1 + ( n-1 )d

 等差数列の和(Sn)を等差級数といい、次式の公式となる。

 Sn = a1 + a2 + ・・・ + an = n(a1+an)/2 = 2n{ 2a1 + (n-1)d }


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等比数列


 2,4,8,16,32,64,・・・ のように隣り合う項の比(公比)が等しい数列を等比数列という。初項(一番最初の項)がaで、交比がrである等比数列のn番目の項(an)は次式となる。

  an = a・rn-1

 等比数列の和(Sn)を等比級数といい、次式の公式となる。

 Sn = a + ar + ・・・ + arn-1 = a(1-rn+1)/(1-r)   r ≠1

 Sn = na   r=1

-1<r<1の場合、無限等比級数(Si)が計算でき、次式となる。

 Si = a/(1-r)

 無限に加算しても、値が求まるのは不思議です。






連続試合安打の継続数は無限等比級数


 時々、大リーガーのイチロー選手の連続試合安打や連続盗塁成功が話題になる。そこで、どれだけ困難なことか考えてみる。
 1試合90%の割合でヒットがでる打者は平均すると何試合連続安打が継続するでしょうか。

 1試合目 : 平均0.9試合継続します。
 2試合目 : 平均0.9×0.9=0.92試合継続します。
 3試合目 : 平均0.93試合継続します。
        ・・・・・
これを合計すると、連続試合安打の継続数となる。

  連続試合安打の継続数 = 0.9 + 0.92 + 0.93 + 0.94 + ・・・

 この式は初項0.9、公比0.9の無限等比級数であり、その公式を用ると次式となる。

 連続試合安打の継続数 = 0.9/(1-0.9) = 9

 1試合90%の割合でヒットを打つ打者は平均9試合連続安打となる。


                       連続試合安打継続数の計算



エクセルを用いた等差級数


 エクセルを用い1,2,3,4,5,6,7,8,9,10の等差級数(55)を求める。

 自分自身のセルを参照する循環参照を行うため、最大反復計算回数を設定する。ツールバーのツール→オプションを選択すると、次のオプション画面が現れる。そこで計算方法を選択する。反復計算にチェックをいれ、最大反復回数を10に設定し、OKボタンをクリックする。


                     図1 オプション画面

 図2のように、計算実行のYes,Noがリスト選択できるようにした。

 参考:Excelの入力規則の設定


               図2 リスト選択の設定

 ツールバーのデータ→入力規則を選択すると、次のデータの入力規則画面(図3)が現れる。入力値の種類としてリストを選択し、元の値に計算実行の選択エリアを設定し、OKボタンをクリックすれば、図2のリスト選択が可能となる。


         図3 データの入力規則画面

 図4のように、等差数列のセルを設定する。計算実行がyの場合、自分自身のセルに等差を加算する。計算実行がnの場合、初項を設定する。


               図4 等差数列のセルの設定

 同様に、等差数列の和セルを設定する。計算実行がyの場合、自分自身のセルに等差数列を加算する。計算実行がnの場合、初項を設定する。計算実行セルをyに変更すると、図5のように等差数列の和が求まる。


             図5 等差数列の和の計算



エクセルを用いた等比級数


 エクセルを用い初項1、公比0.6のn=10の等差級数を求める。

 最大反復回数、リスト選択は等差級数の場合と同様に設定する。図6のように、等比数列のセルを設定する。計算実行がyの場合、自分自身のセルに公比をかける。計算実行がnの場合、初項を設定する。


             図6 等比数列のセルの設定

 同様に等比数列の和のセルを設定し、計算実行セルをyに変更すると、図7のように等比級数が求まる。


               図7 等比数列の和の計算



フィルの連続データ生成機能を用いたの等差数列、等比数列


 初期値のセルを選択した状態で、エクセルのツールバーの編集→フィル→連続データの生成をクリックすると、次の画面が現れる。等差数列の場合は加算、等比数列の場合は乗算を選択する。増分値は公差、公比に該当する。OKボタンをクリックすると、図9のように列方向の等比数列が現れる。


  図8 フィルの連続データ作成画面


    図9 連続データ作成機能を用いた等比数列


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