エクセルを用いた2円の接線計算

        

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          図1 2円の接線グラフ                   


2円の定義


円1と円2の共通接線を求めましょう。

円1は中心座標(xc1,yc1)とその半径(R1)で表現できます。

円2は中心座標(xc2,yc2)とその半径(R2)で表現できます。



2接線の交点座標を求める




図1 2円の中心線と接線の交点


中心間の距離(L)と角度(θ)は

  L = √((xc2-xc1)2 + (yc2-yc1)2)

 θ = tan-1( (yc2-yc1)/(xc2-xc1))

となります。

エクセルでは

 L = sqrt((xc2-xc1)^2 + (yc2-yc1)^2)

 θ = atan2( xc2-xc1,yc2-yc1)

です。

中心1から中心2への単位ベクトル(ex,ey)は

 ex = (xc2-xc1)/L
 ey = (yc2-yc1)/L

となります。

2接線の交点(P)は外接する場合も、内接する場合も2円の中心線上にあります。
(2円の半径が同じ場合、外接線は交差しません。この場合、接線は容易に求まります。)

今回、内接する接線を求めます。(外接する接線も同様な方法で求まります)

直角三角形の合同条件より、 

 円1と交点(P)の距離 : 円2と交点(P)の距離 = 円1の半径(R1) : 円2の半径(R2)

の比例関係があります。

よって、

 円1と交点の距離(L1) = L・R1/(R1+R2) となります。

交点座標P(xp,yp) は円1(xc1,yc1)から単位ベクトル(ex,ey)方向にL1の距離にある。よって、

 xp = xc1 + L1・ex
 yp = yc1 + L1・ey

となります。


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接線角度を求め、接線を求める


中心2、交点P、接点(円2)の角度をαとすると、

 sin(α) = R2/(L-L1) となり、sinの逆関数を使用し、αを求める。すなわち、

 α = sin-1( R2/(L-L1) ) = asin( R2/(L-L1) ) となる。

2接線は、交点P(xp,yp)をとうり、角度(θ+α)と角度(θ-α)の線となる。



エクセルを用い円1と円2の共通接線を求める


 円1の半径 R= 2.5 , 中心(xc1,yc1) = ( -0.5, 2) とする。

 円2の半径 R= 1.5 , 中心(xc2,yc2) = ( 3, 7) とする。

エクセルを用い円1と円2の共通接線を求めてみよう。


            図3 円と円の共通接線とそのグラフ

うまく接線が求まりました。


 





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