エクセルを用いた円と直線の交点計算

        

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          図1 円と直線の交点グラフ                

円と直線の定義


円と直線の交点を求めましょう。
 
円は中心座標(xc,yc)とその半径(R)で表現できます。

直線は2点(始点と終点)の座標(x、y)で表現できます。

始点座標は(xs, ys)、 終点座標は(xe,ye)とします



直線の方程式



直線の方程式は 

  ax + by + c = 0

と表現できる。

係数 a,b,c は直線の始点、終点座標から求まり、

a = ye - ys
b = xs - xe
c = -( a・xs + b・ys )

となる。



円の中心から直線に垂線の足を下ろす


直線の始点、終点間の距離(L)は

  L = √( ( xe-xs)2 + (ye-ys)2 )

となる。

直線方向の単位ベクトル(ex,ey)は下式となる。

ex = (xe - xs) / L
ey = (ye - ys) / L

この直線に直角な単位ベクトル( vx,vy )は下式となる。

 vx = -ey
 vy =  ex

いま、円の中心から直線までの距離(最短距離)をkとすると、
(距離は円中心から垂線の足までの長さとなる)

円の中心(xc,yc)から直線の直角方向(vx,vy)にkだけ移動した点

 x = xc + k・vx
 y = yc + k・vy

は直線の方程式( ax+by+c = 0 ) 上にある。

よって、(x,y)を方程式に代入すると、距離kが求まる。

 k = - (a・xc + b・yc + c)/(a・vx+b・vy)

求まった距離kより、垂線の足の座標(xp,yp)を下計算する。(下式)

 xp = xc + k・vx
 yp = yc + k・vy


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円と直線の交点計算


 垂線の足と交点との距離(S)は下式となる。
(ピタゴラスの3平方の定理)
 
 S = √( R2 - k2 )

  R ::円の半径
  k :円中心と垂線への足の距離

R < k の時、直線は円と交わりません。
(直線は円の外にある)

√の中が負になると、EXCEL関数 sqrt() はエラーとなる。

垂線の足と交点との距離(S)が求まれば、円と直線の交点座標(x1,y1), (x2,y2)は
簡単に求まる。

垂線の足(xp,yp) から直線の単位ベクトル方向(ex,ey)に±Sの距離にある点が交点となる。

交点1の座標

 x1 = xp + S・ex
 y1 = yp + S・ey

交点2の座標

 x2 = xp - S・ex
 y2 = yp - S・ey



エクセルを用い円と直線の交点を求める


 円の半径 R= 5 , 中心(xc,yc) = ( 2.5, 4) とする。

 直線の始点 (xs,ys) = ( -3 ,8), 終点( 4 ,-2)とし、

エクセルを用い円と直線の交点を求めてみよう。


                       図2 円と直線の交点とそのグラフ

うまく円と直線の交点が求まりました。


 





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