遠心力は慣性力


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 電車がカーブを走行中、車内にいる人はカーブ外向きの力(遠心力)を体感します。

外から電車を見ている人にとって、電車はレールから内向きの力(向心力)をうけカーブを走行しています。

車内の人は自分が静止していると考え、自分中心の座標系で力(遠心力)を感じます。

すなわち、遠心力は回転運動(カーブ走行運動)する回転座標系で考えた架空の力です。

一般的に、加速度運動をする座標系で発生する力を慣性力と言います。

エレベータ内で体感する力も慣性力です。



カーブ走行中の速度と加速度の関係


質量mの物体は座標系の加速度(α)の反対方向に F=mα の慣性力を受けます。

加速度(α)は単位時間あたりの速度(v)の変化です。

カーブ走行中、速度の大きさは変わりませんが、その方向が変化します。
(速度も加速度も大きさと方向を持つベクトル)

カーブ走行中、加速度は速度に対し直角(カーブ内側)の方向にはたらきます。


                  図1

微小時間Δt秒間に質量mは円周上を距離(V×Δt)だけ移動します。

その時の円中心の角度変化(Δθ)は

Δθ = V×Δt/R  R:カーブ半径

となります。

  角度の単位はラジアンとする。
  1 ラジアン = 180/π度 でπは円周率で3.14である。


                 図2

t秒後の速度v (t)はΔt秒後v (t+Δt)となる。

速度の大きさ(V)は変化しないが、方向がΔθ変化する。

その差、すなわち速度の変化(Δv )は

Δv = v (t+Δt) - v (t)

速度の変化の大きさをΔVとすると、加速度の大きさ(α)は速度の単位時間変化だから

α = ΔV/Δt  となる。

ΔV ≒ Δθ×V  Δθ=V×Δt/R より

α ≒ V2/R となる。

Δtを0に近づけると(Δt→0)

α = V2/R となり、その方向は速度と直角方向となる。

ニュートンの第2法則より、力と加速度の関係式が成立する。

  F  = mα

よって、遠心力(F)に関する物理法則の公式(1)式が算出できる。

  
F = mV2/R    ・・・・・ (1)






遠心力の角速度表記


 円運動する物体が単位時間に移動する角度(ラジアン)を角速度(ω)という。

1 ラジアン(rad) = 180/π 度である。 (π:円周率 = 3.14)

半径(R)の円周上を速度(V)で回転する物体の場合、速度と角速度の関係は

  V = R・ω  ・・・・・ (2)

となる。

(2)式を(1)式に代入すると、遠心力(F)と角速度(ω)の関係式(3)が導出される。

  F = mRω2    ・・・・・ (3)




地球自転による遠心力


図3 地面上の座標系に発生する地球自転による遠心力


 図3のように、地面上の座標系では、地球自転による遠心力(慣性力)が発生します。
地球は1日1回転するため、どの位置でも自転による角速度(ω)は同じです。

  ω = ( 2π)/ ( 24・60・60) ラジアン/sec    となる。

緯度(θ)により自転の回転半径(R)が異なるため、緯度ごとに自転による遠心力は
異なります。
(南極、北極では自転による遠心力は0であり、赤道では遠心力は最大となる。

  自転の回転半径(R) = r・sin(θ)    ・・・・・ (4)

               r : 地球の半径(赤道半径=6378000m)

図3のように質量mの物体に対し、地球の中心に方向の引力と地軸直角方向の遠心力
が作用する。この引力と遠心力の合力が重力となります。

緯度(θ)にある質量(m)の物体の遠心力は(4)式を(3)式に代入し、(5)式となる。

  F = m・ r・sin(θ)・ω2     ・・・・・ (5)

エクセルを用い、緯度と質量50kgの人が受ける遠心力の関係のグラフを作ってみよう。


          図4 緯度と遠心力の関係を計算するエクセルシート


     図5 緯度と体重50kgの人が受ける遠心力の関係グラフ

  赤道では、人は体重の0.35%程度の遠心力を受けることになる。



慣性力がない静止点はどこにある?


 地面に固定した点の座標系でも慣性力はあります。
地球自身が自転しているため、地面上の座標系も加速度運動をしています。
また月が地球を回っている影響もあります。地球が太陽の回りを公転している運動もあります。
太陽は銀河系内で運動を・・・・、銀河系は大宇宙を・・・・

結局、慣性力がない静止点はどこにあるのでしょうか?



慣性力と通常の力の識別は?


 電車の窓から外を眺めていると、電車がカーブを走行していることが解るため、
カーブ外側への力(遠心力)が慣性力であることが理解できます。

窓のない箱のなかに閉じ込められた場合はどうでしょう?
内部で慣性力と通常の力を識別出来るでしょうか?

GPSを使って位置の移動を特定するって。
電波も届かないようにします。


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