エクセルのソルバーを用いた最小作用の原理に基づく質点の軌道計算
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図1質点の軌道に関する理論解と適当に設定した軌道


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最小作用の原理


 最小作用の原理(ハミルトンの原理)によれば、ラグランジュ関数(L)の時間積分をSとすると、

  S = ∫L dt   ・・・ (1)    積分区間[t1,t2]

のS(作用積分)が最小値をとるように、質点は運動する。

 ただし、始点(t=t1),終点(t=t2)において、質点は定められた位置にあるものとする。

 純粋な力学系の場合、ラグランジュ関数は次式となる。

  L = K - U

         K:運動エネルギー
         U:位置エネルギー


参考文献
ファインマン物理学〈3〉電磁気学 (1969年)


ご冗談でしょう、ファインマンさん〈上〉 (岩波現代文庫)
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地上における質点の運動の理論解



 時間t=0の時、位置(0,0)、初速度(vx,vy)の質点の運動は次式となる。

 x方向の位置

  x = vx・t           ・・・ (2)

 y方向の位置

 y = -(1/2)g・t2 + vy・t   ・・・ (3)

          g:重力の加速度



エクセルのソルバーを用い、最小作用の原理に基づき軌道を計算する


質量m=10の質点が初速度(8,3)で2秒間運動する場合、その軌道を計算してみよう。

最初、図2のように、適当な軌道に基づく作用積分を計算する。その計算手順を下記に示す。

@理論解の計算

 (1)(2)式を使用し、(x,y)の値を求める。

A適当な水平位置(x’)、高さ(y’)の設定
 
  始点(t=0),終点(t=2)では理論解と一致させるがあとは適当な値を設定する。

B移動距離の計算

 適当に設定した位置データより直線距離を求める。

C速度(v)計算

 速度(v)=移動距離/経過時間 となる。ただし、t=0の時は初速度を使用する。

D運動エネルギー(K)の計算

 K = (1/2)mv2

E位置エネルギー(U)の計算

 U = mgy'

Fラグランジェ関数の計算

 L = K-U

G作用積分(S)の計算

 L×経過時間を積算(数値積分)する。


                       図2 適当な軌道に基づく作用積分

メニューバーでツール→ソルバーを選択すると、次のパラメータ設定画面が現れる。


               図3 パラメータ設定画面

目的セルは作用積分の合計を設定する。目標値として最小値を選択する。変化させるセルは適当な水平位置(x’)、適当な高さ(y')の領域を設定する。ただし始点(t=0),終点(t=2)は除外する。実行ボタンをクリックすると、図4の結果、図5のグラフとなり、適当な軌道が理論解と一致することが解る。


                         図4 ソルバーの実行結果


   図5 適当な軌道が理論解と一致したグラフ




 こんなことは誰もやらないだろう、出来ないだろと思いながらトライしてみると、簡単にできました。ゴッドフット企画のオリジナルです。
複製物を見せる場合には必ず著作者(ゴッドフット企画)を表示して下さい。


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