エクセルを用いた順列・組合せ計算

        

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順列の総数


 例題1:上に並べてある6個の亀のアイコンは何通りの並べ方があるでしょう?

 いくつかのものを1列に並べたものを、それらの順列という。一般に、異なるn個のものから、異なるr個をとって1列に並べたものを、n個のものからr個とった順列といい、それらの順列の総数をnPrという記号で表す。このPはPermutationの頭文字である。このnPrについて、次の公式が成り立つ。

  nPr = n(n-1)(n-2)・・・・(n-r+1)    ・・・(1)

r=nとすれば次式となる。

  nPr = n(n-1)(n-2)・・・・3・2・1

これは異なるn個のもの全体を1列に並べる順列の総数である。1からnまでの整数の積をnの階乗(ファクトリアル)といい、n!で表す。よって、

  nPr = n(n-1)(n-2)・・・・3・2・1 = n!

となる。

 例題1の回答:6個の亀のアイコンの順列の総数は 6!=6・5・4・3・2・1=720通りとなる。

 コンピューターでは(1)式を次式で表す方が取り扱いやすい。

  nPr = n!/(n-r)!    ・・・(2)

エクセル関数では、n!はFACT(n)であり、nPrはPERMUT(n,r)も使用できる。

例題2:1から6の数字から異なる3個の数字をとって作られる3桁の整数の個数は?


         図1 エクセルを用いた例題2の回答


統計学が最強の学問である


参考文献
基礎統計学ハンドブック
猪俣清二著

確率統計入門

ビジネスマンのための「数字力」養成講座 (ディスカヴァー携書 20)


完全独習 統計学入門






重複順列の総数


 例題3: 1から6の数字を用いて作られる3桁の整数の個数は?

 異なるn個のものの中から、同じものを何度も使うことを許してr個並べたものを、n個のものの中からr個とった重複順列といい、その総数をnΠrで表す。このnΠrについて、次の公式が成り立つ。

 nΠr = nr    ・・・ (3)

 例題3の回答: 6Π3 = 63 = 216(個)

 エクセルでは、nr はn^rと計算する。



円順列の総数


図2 丸テーブルを囲む家族の並び例


 例題4:図2のように丸テーブルを囲む5人家族の並び方は何通り?

 異なるn個のものを円形に並べた、n個のものの円順列といい、その総数は(n-1)!となる。

 例題4の回答: (5-1)!=4・3・2・1=24通り

円順列の場合、方向を気にしていません。方向を気にすると通常の順列計算n!となる。



同じものを含む順列の総数


例題5: 1を2個、2を3個、3を4個を全て用いてできる9桁の整数の総数は何個?

n個のもののなかにp個の同じもの、q個の他の同じもの、r個の他の同じもの、・・・があるとき、これらn個のものを全部1列に並べる順列の総数は次式となる。

  n!/(p!q!r!・・・)

   ただし、n = p+q+r+ ・・・ である。


              図3 エクセルを用いた例題5の回答



組合せの総数


例題6: 40人のクラスからバレーボールの選手7人を選ぶ組合せ総数は何とおり。

 n個のものからr個取った組み合わせの総数をnCrで表す。このCはCombinationの頭文字である。組合せは順番を考えないため、その総数は順列の総数をr!で割った次式となる。

   nCr = nPr/r! = n!/{r!(n-r)!}  ・・・ (4)


             図4 エクセルを用いた例題6の回答



重複組合せの総数


 例題7: 3種類の果物(りんご、みかん、梨)のなかから5個もらうとき、その組合せは何通りか?

 異なるn個のものから、おなじものをくり返して取ることを許して、r個とる重複組合せといい、その総数はnHrと表し、次の公式が成り立つ。

  nHr = n+r-1Cr  ・・・ (5)


             図5 エクセルを用いた例題7の回答




 

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脱線事故シミュレーションもEXCELで
(Yahoo Japan 掲載)


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