エクセルを用い平均値と標準偏差から偏差値を計算する

        

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図1 クラスの点数分布グラフ

棒グラフの作り方:エクセルを用いて棒グラフ、折れ線グラフを作ってみよう




平均値と標準偏差の求め方


n人のクラスでテストをしました。その結果をt1,t2,t3・・・・・tn点とします。
このクラスの平均値(Av)は全点を合計し、人数で割ります。

 平均値(Av) = ( t1 + t2 + ・・・・ + tn ) / n

Aクラスでは全員が50点でした。Bクラスでは半数が0点で半数が100点でした。
この場合、A,Bクラスとも平均点は50です。でも、Bクラスはずいぶん点数がばら
ついているので、先生はたいへんですね。

このばらついている程度を示す指標が標準偏差(σ)です。

各点数と平均値の差を平均すればばらつきがわかります。

  { ( t1- Av ) + ( t2 - Av ) + ・・・・・+( tn - Av ) } / n

しかしながら、この計算では(点数ー平均値)の正、負が相殺し、0となります。

そこで、負数がなくなるよう、(点数-平均値)を2乗してから合計し、人数で割り
ます。

次に、2乗を解消するため、平方根(√)をとります。すなわち、

標準偏差(σ) =√[{ ( t1- Av )2 + ( t2 - Av )2 + ・・・・・+( tn - Av )2 }/ n ]  

となります。

ちなみに、上記A,Bクラスでは下記となります。

Aクラスの標準偏差は0です。
Bクラスの標準偏差は50です。

平均値は感覚的に理解できる数値ですが、標準偏差は2乗和平均の平方根
ですから、感覚的に理解できる数値ではありません。他クラスとの比較など
相対的な値としてなら理解できます。


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偏差値の求め方



入学試験では合否の可能性を表すものとして、偏差値が広く使われています。

偏差値とはクラスの平均が50点、標準偏差が10となるよう各受験生の点数を
換算したものです。

ti点を取った受験生の偏差値は

 偏差値 = 10・( ti - 平均)/標準偏差 + 50

となります。

90点を取った受験生も平均点が95点であれば、偏差値は50点以下となり、
喜んではいられません。

偏差値も標準偏差と同様に感覚的に理解できる数値ではありません。

前回の偏差値よりも向上したなど、相対的な数値として理解する必要があります。

数万人の規模で行われる全国一斉模擬試験の場合、偏差値により希望校の
合否確率が精度よく割り出されます。



エクセルを用いた平均値と偏差値計算


 エクセルを用いクラスの平均値と偏差値を求めてみよう。

エクセルの関数を使えば平均値(AVERAGE)、標準偏差(STDEVPA)は求まりますが、
ここでは計算内容を説明するため、計算式を組み込んでいます。



       図2 クラスの平均値と偏差値を計算したエクセルシート

受験者に対応する点数と偏差値をグラフにしました。


               図3 点数と偏差値のグラフ

グラフ作成方法の参考 : エクセル(EXCEL)でグラフを作ってみよう

エクセル関数の平均値(AVERAGE)、標準偏差(STDEVPA)を使えば、次のようになります。


 図4 エクセル関数を使用し平均値と偏差値を求めた結果


偏差値の分布は正規分布?


図5 平均が50で標準偏差が10の正規分布グラフ


偏差値の分布は正規分布に近いようですが、一致するはずがありません。

平均値がμ、標準偏差がσの正規分布は

   f(x) =1/(√(2π)σ)exp{-(x-μ)2/(2σ2)}

となり、平均が50で標準偏差が10の正規分布は図5のグラフになります。

NORMDIST(x,平均値,標準偏差,FALSE)が正規分布関数です。


                    図6 正規分布関数値を求めるエクセルシート

偏差値が正規分布に従う場合、偏差値が60以上は全体の何%でしょう。

その場合、60〜100の分布関数の面積(積分)を計算すれば解ります。

 −∞〜xまでの分布関数の積分は NORMDIST(x,平均値,標準偏差,TRUE)です。

よって、60〜100までの分布関数の面積(積分)は

  1 − NORMDIST(60,平均値,標準偏差,TRUE)

となります。エクセルで計算すると15.9%です。


            図7 正規分布関数の積分

100人中の16番程度になります。



偏差値と順位との関係


図8 偏差値と順位の関係のグラフ


 偏差値は感覚的に理解しがたい数値ですが、順位(100人中の何番)に換算できれば
理解しやすい数値になります。偏差値と順位の関係表を作りましょう。



             図9 偏差値と順位の関係表


エクセルを用いた度数分布表とヒストグラム


図10 クラスのテスト結果のヒストグラム


エクセルを用いた最大値(最高点)、最小値(最低点)の計算と条件付き書式設定


 



エクセルを用い相関係数と回帰直線を求める

シンプソン公式を用いた正規分布関数の数値積分

エクセルを用いて成績順に並び替え(SORT)

エクセルを用いた移動平均の計算

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エクセルを用いた指数分布に従う乱数(指数乱数)の発生とヒストグラム

エクセルを用いた二項分布の計算

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