エクセルのソルバーを用いた鉄筋コンクリート断面の応力計算

        

Excelを用いた科学技術計算が書籍になりました 好評につき27年11月重版9刷!


 丸善出版事業部HPよりExcelデータをダウンロードできます
好評発売中 丸善出版 出版 \2200

amazon:Excelで操る! ここまでできる科学技術計算

楽天:Excelで操る! ここまでできる科学技術計算


      図1 鉄筋コンクリートの断面図


 鉄筋コンクリートは引張力に弱いコンクリートを補強するため

鉄筋を配している構造材である。

 鉄筋(鋼材)とコンクリートでは材質や特性が異なるため、

鉄筋コンクリートの応力計算は特異なものとなる。



鉄筋コンクリート断面の応力計算の特異性


鉄筋コンクリート応力計算の特異性を下記にしめす。

@ 鉄筋(鋼材)とコンクリートのヤング率が異なる。

   鋼のヤング率(Es) = 206000 N/mm2

   コンクリートのヤング率(Ec) ≒ 30000 N/mm2

 コンクリートのヤング率はその応力により変化する。

A コンクリートは、圧縮力に対しては大きな抵抗力を持っているが、
  引張力に対する抵抗力が小さく(約1/10)脆弱である。

  設計計算上、コンクリートには引張応力が発生しないものとして、 
  断面応力を計算する。


  図2 コンクリートの応力(σ)-ひずみ(ε)曲線

図2のように、コンクリートの応力(σ)-ひずみ(ε)曲線が非線形となる。
そのため、軸力(N)と曲げモーメント(M)が断面に加わった時、鉄筋コンクリート断面の
応力計算は非線形となる。

断面性能(断面積、断面2次モーメント)を使った通常の応力計算は適応できない。



ひずみ面の仮定


 軸力(N)と曲げモーメント(M)が断面に加わった時、断面位置が同じでも鉄筋とコンクリートに生ずる応力値は異なる。しかし、そのひずみ量は同一である。

 参考:梁に作用する軸力と伸び量とヤング率の関係(フックの法則)

鉄筋コンクリート断面のひずみ面を平面(線形)と仮定し、(1)式とする。

  ε = a y + b      ・・・・・ (1)

         y : CL(中心線)を原点とした鉄筋コンクリート断面の位置
         ε: y位置でのひずみ量
         a,b : ひずみ面の係数

(1)式より、ひずみ量が0(応力が0)となる中立軸(yn)は(2)式となる。

  yn = -b/a       ・・・・・ (2)

ひずみ量(ε)と応力(σ)の関係は(3)、(4)式となる。

鉄筋の場合

  σ = Es ε  ・・・・・ (3)

コンクリートの場合 (今回、コンクリートのヤング率を一定とする。)

  σ = Ec ε ・・・・・ (4)

  ただし、ε< 0 の時、σ=0 となる。(コンクリートには引張応力は発生しない)



仮定したひずみ面より断面力算出


図1 鉄筋コンクリートの断面図


たった1日で即戦力になるExcelの教科書

入門者のExcel VBA―初めての人にベストな学び方 (ブルーバックス)


計算力学ハンドブック(第1巻)

Excelで解く構造力学

材料力学史
著者:ステファン・P.チモシェンコ

仮定したひずみ面より鉄筋とコンクリート断面に発生する断面力を算出する。

@鉄筋断面に発生する軸力(Ns)

  Ns = ΣσAs   

      Σ: 全鉄筋で合計する。
       As: 鉄筋の断面積

A鉄筋断面に発生する曲げモーメント(Ms)

 Ms = Σσ(D/2-d) As + Σσ(-D/2+d) As
        上端筋               下端筋

      Σ: 上端筋、下端筋で合計する。
      D: コンクリート高さ
      d: コンクリート面から鉄筋までの距離

Bコンクリート断面に発生する軸力(Nc)

 Nc = B∫σdy

      B : コンクリート幅
      ∫: 積分区間[-D/2〜D/2]となる。
      中立軸がコンクリート内の場合、応力分布は3角形となる。
      中立軸がコンクリート外の場合、応力分布は台形となる。
      積分は三角形、台形の面積を求めることととなる。

Cコンクリート断面に発生する曲げモーメント(Mc)

 Mc = B∫σ・y dy = Gc・Nc

      ∫: 積分区間[-D/2〜D/2]となる。
      Gc: 3角形、台形応力分布の重心位置

D鉄筋コンクリート断面に発生する軸力(Nt)、曲げモーメント(Mt)

鉄筋とコンクリート断面に発生する断面力を合計する。

 Nt = Ns + Nc

 Mt = Ms + Mc



外力と内力は等しい(作用、反作用の法則)


 鉄筋コンクリート断面に加わった軸力(N)と曲げモーメント(M)(外力)とひずみにより発生した軸力(Nt)と曲げモーメント(Mt)(内力)は等しい。(作用、反作用の法則)

       N = Nt   ・・・・・(5)
    M = Mt
  ・・・・・(6)




エクセルのソルバーを用い鉄筋コンクリート断面の応力を計算する


 図3の鉄筋コンクリート断面形状、荷重条件のもとで、ひずみ面を仮定する。仮定したひずみ面より鉄筋コンクリート断面に発生する断面力を算出する。


         図3 仮定したひずみ面より発生する鉄筋コンクリートの断面力を算出するエクセルデータ

メニューバーでツール→ソルバーを選択すると、図4のソルバー:パラメータ設定画面が現れる。
ひずみ面の係数(a,b)を変化させるセルに設定する。
制約条件として次の@Aを設定する。

 @ 軸力(N) = 仮定したひずみ面より発生する軸力(Nt)

 A 曲げモーメント(M) ≦ 仮定したひずみ面より発生する曲げモーメント(Mt)

目的関数として、仮定したひずみ面より発生する曲げモーメント(Mt)を設定し、目標値を最小値に設定する。


           図4 ソルバー:パラメータ設定画面

実行ボタンをクリックすると図5のように、N=Nt, M=Mtとなるひずみ面の係数が算出される。
中立軸(yn=-22.391) はコンクリート断面内に入っている。


                       図5 ソルバーの実行結果



 





EXCELを用いた科学技術計算

EXCELのソルバーを用いた科学技術計算

EXCELを用いた構造力学(材料力学)計算



〒673−0036 兵庫県明石市松江62−14
(有)ゴッドフット企画



感想をお聞かせ下さい



JR福知山線 脱線事故シミュレーション

脱線事故シミュレーションもEXCELで
(Yahoo Japan 掲載)