Excelを用いたシンプソン公式による正規分布関数の数値積分

        

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           図1 平均が50で標準偏差が10の正規分布関数のグラフ


平均値がμ、標準偏差がσの正規分布は

   f(x) =1/(√(2π)σ)exp{-(x-μ)2/(2σ2)}  ・・・・・ (1)

となり、平均が50で標準偏差が10の正規分布は図1のグラフになります。
このグラフは、模擬試験における偏差値の分布に近いものです。

60点〜70点の間にいる受験生の割合を求めるには、この分布図を積分する必要があります。

 定積分は関数、xの区間、x軸で囲まれた領域の面積を計算します。
数値積分は有限個の点(x0,x1,x2,x3, ・・・・)での関数値(y0,y1,y2,y3,・・・)から
面積を算出します。点の数が少ないと、誤差が発生します。


シンプソン公式



 シンプソン公式では、隣接する3点を放物線(2次関数)と仮定し数値積分を行う。
そのため、積分区間を偶数個(M=2N)に等分割する必要がある。
関数f(x)をa〜b 区間積分する。

分割巾(h)は h = (a-b)/M となる。

積分値 I = ∫ f(x) dx は

I = (1/3) h { y0+4(y1+y3+ ・・・・+y2M-1) + 2(y2+y4+・・・・・+y2M-2) + y2M } ・・・・・ (2)

となる。



EXCELを用いた数値積分


正規分布関数 f(x) を区間(60〜70)で積分しましょう。
図2のように、エクセルシート上に、分割数(M)、区間(a〜b)を設定します。
xとそれに対応する関数f(x)を設定します。関数を変更すれば、その関数に対応した数値積分
が可能となる。最後に計算結果エリアを設定します。

NORMDIST(x,平均値,標準偏差,FALSE)が正規分布関数です。


                図2 数値積分用に正規分布関数を設定したエクセルシート


シンプソン公式のプログラムをVBAでつくる


 エクセルの操作による数値積分より、VBAによる数値積分プログラム作成のほうが容易です。
図3のように、セルの値を読み込み、シンプソン公式を用い数値積分を行い、計算結果をセルに出力します。
関数はシート上のxに値を設定し、y=f(x)の値を取り出します。


           図3 数値積分(シンプソンの公式)のためのVBA


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数値積分実行


 図4のように、積分実行のボタンを作り、マクロを登録しておくと便利です。
積分実行ボタンをクリックすると、積分値が算出されました。
60点〜70点の割合は13.591%です。


                図4 シンプソン公式による正規分布関数の数値積分結果



 





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