エクセルを用いたベクトルの内積計算

        



ベクトルの内積の説明

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ベクトルの説明


 ベクトルとは、複数の数値をカンマで区切り、カッコでくくった数である。

例 ( 3, 5, 7 ,-3 .4)

それそれの数値をベクトルの成分と言い、その個数を次元と言う。

例の場合
成分が 3 5 7 −3.4 の4次元ベクトル である。

@ベクトルの足し算、引き算

成分どうしの足し算、引き算を行う。
 ( a, b ) + ( c ,d ) = ( a+c, b+d )
 ( a, b ) - ( c ,d ) = ( a-c, b-d )

Aスカラー(ベクトルではない通常の数値)×ベクトル

成分にスカラー値をかける。
 k( a, b ) = ( ka, kb)

複数の数値が取り扱えるEXCELなどの表計算ソフトは必需品となっている。
複数の数値を取り扱うベクトルの勉強も重要です。
この程度の計算なら、小学校の高学年でも楽勝です。


Bベクトルの大きさ:絶対値(スカラー)は次式となる。

|( a, b)| = √( a2 + b2 )


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位置と力のベクトル表記


 空間位置と力は2次元または3次元ベクトルで表現すると便利です。

位置ベクトルは ( X座標, Y座標, Z座標) と表現でき、

力のベクトルは ( x方向成分, y方向成分, z方向成分) と表現できる。


     図1 力のベクトルの説明図


ベクトルの内積・外積計算


 ベクトルA,B 
  = ( Ax, Ay, Az)
 B = ( Bx, By, Bz)
とすると、

内積(スカラー量)は成分どうしの積を加算し、(1)式となり、

() = Ax・Bx + Ay・By + Az・Bz   ・・・・・ (1)

外積(ベクトル量)は(2)式となる。

× = (Ay・Bz−Az・By,Az・Bx−Ax・Bz,Ax・By−Ay・Bx) ・・・・・ (2)



ベクトル内積の公式


図2 ベクトルの内積の説明図

 
 図2のように、空間にベクトルB があるとすると、そのベクトル内積(A B )とベクトルの成す角(θ)との間に次式が成立する。

  (A B )= |A||B|cos(θ)

 この計算式より2ベクトルの成す角(θ)が求まる。すなわち、

  cos(θ) = (A B )/|A||B|

 cos(θ)をsとおくと、

  θ = cos-1(s)   (θの単位はラジアンである。)

となる。

 cos-1(s)はcos(θ)の逆関数であり、エクセル関数のACOS(s)に該当する。

 |A|はベクトルの大きさ:絶対値であり、ベクトル成分が(a,b)の場合、エクセル関数では=sqrt( a^2+b^2)となる。



エクセルを用い2ベクトルの成す角を計算する


図3 2ベクトルのグラフ


 エクセルを用い図3のような2ベクトルの成す角を計算する。そのエクセルシートを図4に示す。
2ベクトルの内積はエクセル関数SUMPRODUCT(ベクトルA,ベクトルB)も使用できる。
 ラジアンを度に変換するエクセル関数はDEGREES(ラジアン)であり、その逆はRADIANS(度)である。


             図4 エクセルを用いた2ベクトルの成す角の計算

 

エクセルを用いたベクトルの外積計算





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