エクセルを用いたラグランジュの補間法

        

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          図1 エクセルを用いたラグランジュの補間法の例題グラフ

補間法


xのいくつかの値に対し、yの値をなんらかの方法(実験、実測、観測、数表等)によってもとめ、これらのデータをもとにして、データ間の任意の点xにおけるyの値を推定する方法を補間法という。
ここでは、補間法の1種であるラグランジュの補間法について述べる。



ラグランジュ(Lagrange)の補間多項式



n+1個の点(x0y0),(x1,y1),(x2,y2),・・・・(xn,yn)を通るn次の多項式L(x)は次式で表される。

  L(x) = ΣLk(x)・yk  (j=0〜nで集計する)

すなわち、

  L(x) = L0(x)・y0 + L1(x)・y1 + L3(x)・y2 + ・・・ + Ln(x)・yn  ・・・・・ (1)

となる。 ただし、

  Lk(x) = {(x-x0)/(xk-x0)}・{(x-x1)/(xk-x1)}・{(x-x2)/(xk-x2)}・ ・・・ ・{(x-xn)/(xk-xn)}

  上式で{(x-xk)/(xk-xk)}の計算はしない。(計算すると、0で割ることになりエラーが発生する。)

足し算の連続(合計)はΣ記号を使いますが、掛算の連続はΠ記号を使います。よって、

  Lk(x) = Π{(x-xj)/(xk-xj)  (j=0〜n j ≠ k)              ・・・・・ (2)

      (k=1,2,3,  ・・・,n)  となる。


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クセルを用いたラグランジュ(Lagrange)の補間法


 図2のように、エクセルシート上に補間する関数表と補間するx値とその補間結果のエリア設定します。


                    図2

ラグランジュの多項式の計算には分岐(IF文)処理があるためエクセルシート上に計算式を設定することは
困難と思われる。図3のように、エクセルのVBAを作り計算します。



            図3 ラグランジェの多項式を計算するエクセルのVBA

シート上にマクロ実行用ボタンを設定し、それをクリックすると、図4のように、計算結果が表示されます。


        図4 ラグランジュ補間法による計算結果


             図5 ラグランジュ補間法による補間曲線のグラフ

図5より、補間曲線は補間する点列上を通っています。

エクセルのグラフにも点列をスムーズな線で結ぶ(補間)機能があります。
ラグランジュの補間曲線とエクセルグラフの補間曲線を比較してみましょう。



     図6 ラグランジュ補間法による補間曲線とエクセルグラフの補間曲線の比較

図6より、ラグランジュの補間曲線(赤い線)とエクセルグラフの補間曲線(青い線)はすこしずれています。
エクセルグラフはラグランジュの補間法を用いていないようです。

  グラフ作成方法の参考 : エクセル(EXCEL)でグラフを作ってみよう


エクセルを用いたスプライン補間法による近似曲線

エクセルを用いた最小2乗法(点列の近似曲線を求める)

エクセルのソルバーを用いた最小2乗法


 





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