エクセルを用いたスプライン補間法による近似曲線

        

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図1 スプライン曲線の例題グラフ

スプライン関数


 スプラインはかつて製図で用いられた自在定規を意味しており、補間点を結ぶなめらかな曲線が描けることからこのようによんでいる。
 xのいくつかの値に対し、yの値をなんらかの方法(実験、実測、観測、数表等)によってもとめ、これらのデータをもとにして、データの間の任意の点xにおけるyの値を推定する方法を補間法という。
 スプライン関数には基本スプライン(B-スプライン)、カーディナルスプライン(C-スプライン)、自然スプライン(N-スプライン)などの種類がある。 ここでは、自然スプライン関数による3次の補間法について述べる。自然スプラインは、補間関数のなかで最も滑らかな関数である。



3次スプライン補間法



 n+1個の補間点(x0y0),,(x1,y1),(x2,y2),・・・・(xn,yn)が与えられたとき、i番目の区間[xi-1,xi]を次の3次式で近似する。

  Pi(x) = C1,i + C2,i(x-xi-1) + C3,i(x-xi-1)2 + C4,i(x-xi-1)3 ・・・・・ (1)

 C1,i は次式となる。

  C1,i = yi-1

 C2,i は次式の連立方程式の解となる。



 ここで、行列要素は次式となる。

 αi = 2(Δxi + Δxi-1), βi = Δxi, γi = Δxi-1 (i=2,3,・・・,n)

 α1 = 2Δx1, αn+1 = 2Δxn

 γ1 = Δx1, βn+1 = Δxn

ただし、Δxi = xi - xi-1とする。

また、Yi は次式となる。

 Y1 = 3(y1-y0)
 Yi = 3{Δxi-1(yi - yi-1)/Δxi + Δxi(yi-1 - yi-2)/Δxi-1 }
 Yn+1 = 3(yn-yn-1)

 C3,i は次式となる。

  C3,i = {-2C2,i - C2,i+1 + 3(yi - yi-1)/Δxi }/Δxi


 C4,i は次式となる。

  C4,i = {C2,i + C2,i+1 - 2(yi - yi-1)/Δxi }/(Δxi)2


参考文献
理工学のための数値計算法
数理工学社
水島二郎・柳瀬眞一郎共著


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エクセルを用いたスプライン補間法


 図2のように、エクセルシート上に補間する点列を設定する。次に、3次関数の係数(C1,C2,C3,C4)を計算する。C2の計算は連立方程式を解く必要がある。
 参照:Excelを用いた連立方程式の計算


                    図2 スプライン関数の係数計算

 図3のように、求まった係数より3次関数を計算し補間点間の値を求める。


          図3 スプライン関数の計算


     図4 スプライン曲線のグラフ

  グラフ作成方法の参考 : エクセル(EXCEL)でグラフを作ってみよう


エクセルを用いたラグランジュの補間法

エクセルを用いた最小2乗法(点列の近似曲線を求める)

エクセルのソルバーを用いた最小
2乗法


 





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