Excelで操る!最小絶対値法と2次計画法によるポートフォリオ最適化

        

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ポートフォリオ最適化とは

 
 ポートフォリオとは、資産を複数の金融商品に分散投資すること、またその投資した金融商品の組合せをさし、ポートフォーリオを組むことによりリスクを分散させることができる。
 投資家にとって、最適なポートフォリオを見つける問題をポートフォリオ最適化問題という。



              図1 例題の資産の収益率の変動

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参考文献
ポートフォリオ最適化と数理計画法
著者 枇々木規雄、田辺隆人

数理計画法(2次計画法と最小絶対値法)のモデル


 図1の例題ような収益率の変動が異なる2資産のポートフォリオを考える。

資産1:期待変動率(変動率の平均:R1)が0で変動がすくない。
資産2:期待変動率(変動率の平均:R2)が0.1(10%)で変動が資産1の2倍。

ポートフォリオの組み入れ比率を資産1(x1)、資産2(x2)とすると期間(t)におけるポートフォリオの期待収益率(rt)は次式となる。ただし、x1+x2=1である。

    rt = r1t・x1 + r2t・x2 (t=1,2,3,・・・,12)    ・・・ (1)

             r1t:期間tにおける資産1の収益率
             r2t:期間tにおける資産2の収益率

 ポートフォリオの期待収益率(rp)は次式となる。

   rp = R1・x1 + R2・x2           ・・・ (2)

 収益率の分散(Bp)は次式となる。

   Bp = (1/12)Σ(rt-rp)2          ・・・ (3)

 通常はこの分散(Bp)が最小となるx1,x2を算出し、ポートフォリオの最適化を企てる。この場合、目的関数が二次式となるため、2次計画法が適応される。
 しかし、変動率(=お金)の2乗の意味は理解しがたい。直接変動率(=お金)を目的関数にするほうがより良い最適解と思われる。そこで収益率の絶対値和(Zp)を目的関数とする次式を考えた。

   Zp = Σ|rt-rp|            ・・・ (4)

 この場合、最小絶対値法の適応となる。

  参照:Excelで操る!誤差の絶対値和を最小にする(最小絶対値法)



EXCELで操る!2次計画法によるポートフォリオ最適化


 期待収益率(rp)が≧0の条件を追加し、ソルバー機能を用いて、分散の最小化をおこなった。その結果x1=0.8,x2=0.2の解を得た。


                       図2 2次計画法によるポートフォリオ最適化



EXCELで操る!最小絶対値法によるポートフォリオ最適化


 期待収益率(rp)が≧0の条件を追加し、ソルバー機能を用いて、絶対値和の最小化をおこなった。その結果x1=0.723714,x2=0.276286の解を得た。
 お金の2乗て何だろう。2乗和を最小化するより、絶対和を最小化するほうが、有意義と思われる。



                       図2 最小絶対値法によるポートフォリオ最適化


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