Excelで操る！最小絶対値法と２次計画法によるポートフォリオ最適化

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ポートフォリオ最適化とは

　
　ポートフォリオとは、資産を複数の金融商品に分散投資すること、またその投資した金融商品の組合せをさし、ポートフォーリオを組むことによりリスクを分散させることができる。
　投資家にとって、最適なポートフォリオを見つける問題をポートフォリオ最適化問題という。

　　　　　　　　　　　　　　図１　例題の資産の収益率の変動

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参考文献
ポートフォリオ最適化と数理計画法
著者　枇々木規雄、田辺隆人

数理計画法(２次計画法と最小絶対値法)のモデル

　図１の例題ような収益率の変動が異なる２資産のポートフォリオを考える。

資産１：期待変動率(変動率の平均：R1)が0で変動がすくない。
資産２：期待変動率(変動率の平均：R2)が0.1(10%)で変動が資産１の２倍。

ポートフォリオの組み入れ比率を資産１(x1)、資産２(x2)とすると期間(t)におけるポートフォリオの期待収益率(rt)は次式となる。ただし、x1+x2=1である。

　　　　rt = r1t・x1 + r2t・x2 (t=1,2,3,・・・,12)　　　　・・・　(1)

　　　　　　　　　　　　　r1t:期間tにおける資産1の収益率
　　　　　　　　　　　　　r2t:期間tにおける資産2の収益率

　ポートフォリオの期待収益率(rp)は次式となる。

　　　rp = R1・x1 + R2・x2　　　　　　　　　　　・・・ (2)

　収益率の分散(Bp)は次式となる。

　　　Bp = (1/12)Σ(rt-rp)²　　　　　　　　　　・・・ (3)

　通常はこの分散(Bp)が最小となるx1,x2を算出し、ポートフォリオの最適化を企てる。この場合、目的関数が二次式となるため、２次計画法が適応される。
　しかし、変動率(=お金)の２乗の意味は理解しがたい。直接変動率(=お金)を目的関数にするほうがより良い最適解と思われる。そこで収益率の絶対値和(Zp)を目的関数とする次式を考えた。

　　　Zp = Σ|rt-rp|　　　　　　　　　　　・・・ (4)

　この場合、最小絶対値法の適応となる。

　　参照：Excelで操る！誤差の絶対値和を最小にする(最小絶対値法)

EXCELで操る！２次計画法によるポートフォリオ最適化

　期待収益率(rp)が≧0の条件を追加し、ソルバー機能を用いて、分散の最小化をおこなった。その結果x1=0.8,x2=0.2の解を得た。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図2 ２次計画法によるポートフォリオ最適化

EXCELで操る！最小絶対値法によるポートフォリオ最適化

　期待収益率(rp)が≧0の条件を追加し、ソルバー機能を用いて、絶対値和の最小化をおこなった。その結果x1=0.723714,x2=0.276286の解を得た。
　お金の２乗て何だろう。２乗和を最小化するより、絶対和を最小化するほうが、有意義と思われる。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図2 最小絶対値法によるポートフォリオ最適化

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