Excelで操る！誤差の絶対値和を最小にする
（ガウスの夢：最小絶対値法）
大学の教科書にも採択されています。
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| 最小二乗法は目的関数(誤差の２乗和)が最小となる関数の係数を探索する。しかし、次式のように、誤差の絶対値和を最小にするほうがより直接的であり、より良い近似と思われる。 ドイツの数学者、物理学者、天文学者であるガウスは最小二乗法を考案した。しかしながら、当初ガウスは誤差の絶対値和の最小化を模索したようである。 目的関数： T(合計) = Σ|Yi-f(Xi)| ・・・ (1) Yi：i番目の座標(Xi)における計測値 f(Xi)：近似関数 |
 図１ 最小絶対値法で計測点列の近似曲線を作成した例のグラフ |
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最小絶対値法は線形計画法(LP)
(1)式のように絶対値の式があると、目的関数は極端な非線形となり、数学的に取り扱いが困難となる。しかし、次のように、絶対値は等価な２個の線形式に分離できる。 絶対値の不等式： M ≧ |K| 等価な２個の線形式： M≧K, M≧-K ここで、i番目の座標における誤差を変数(Zi)と定義すると、次式が成立する。 Zi≧|Yi-f(Xi)| ・・・(2) すると、ここでの問題は、次の目的関数と制約条件を持つ線形計画法(LP)問題にモデル化できる。 目的関数： T=ΣZi 制約条件： Zi≧Yi-f(Xi), Zi≧-Yi+f(Xi) 線形計画法(LP)問題であればExcelのソルバーで容易に解ける。 |
最小絶対値法の近似関数
近似関数を次の３次関数で近似する。 f(X) = aX3 + bX2 + cX + d ・・・・・ (1) 次数が高いほど、点列に近い近似関数がつくれる。しかし、次数が高すぎると誤差を拾う可能性があり、 ほどほどの次数にする必要がある。 最小絶対値法は点列の近辺を通るなめらかな近似関数をつくる。そのため、誤差を含むデータの近似方法としては良い方法です。 計測点列を絶対に通る近似関数を作りたい場合は、ラグランジュの補間法、スプラインの補間法等をつかうと良い。 最小絶対値法では、ｎ次関数以外の関数も適応できます。正規分布関数などを検討して下さい。 |
EXCELで操る！最小絶対値法による近似関数計算
図２のような、計測点(X,Y)があり、最小絶対値法を用いて、近似関数を求める。 (1)エクセルシート上に近似関数の係数(a,b,c,d)を設定し、関数f(X) を計算する。 (2)計測値(Y)と近似関数f(X)の誤差の査 f(X)-Y,Y-f(X) を計算する。 (3)最後にZに適当な値を設定しT（合計）を計算する。  図2 最小絶対値法(ソルバー実行前) メニューバーのツール→ソルバーを選択すると、図３のソルバー：パラメータ設定画面が現れる。ここでは、目標値として最小値を選択し、変化させるセルを近似関数の係数(a,b,c,d)およびZとし、目的セルはT(合計)とする。制約条件として、Zi≧Yi-f(Xi), Zi≧-Yi+f(Xi)を設定する。  図3 ソルバー：パラメータ設定画面 実行ボタンをクリックすると、図４のように、近似関数が点列に近づく。  図４ 最小絶対値法(ソルバー実行後) |
エクセルのソルバーを用いた科学技術計算
エクセルのソルバーを用いた最小二乗法
エクセルのソルバーを用いた最小作用の原理に基づく質点の軌道計算
大発見、エクセルのソルバーで質点の軌道計算ができる。
EXCELを用いた科学技術計算
EXCELを用いた構造力学(材料力学)計算
Excelを用いた地球温暖化計算
Excelを用いた確率・統計計算
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（Yahoo Japan 掲載）
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