エクセルを用いた漸近展開（漸近級数）とテイラー展開による関数近似計算


Excelを用いた科学技術計算が第2版になりました　30年10月！

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図1　漸近展開とテーラー展開による関数近似例のグラフ

関数f(x)のxが0近辺の場合、f(x)はテイラー展開で近似できるが、xが十分に大きい場合テイラー展開よりも、漸近展開による近似が効果的である。図1の例題の場合、x＜2.6の範囲ではテーラー展開、2.6≦xの範囲では漸近展開を使用すればよい。

漸近級数

関数を次式の漸近級数に展開する。 　　f(x) 〜 A0+A1/x + A2/x2 + A3/x3 + ・・・　　　・・・　(1) 　f(x)が(1)の形の漸近級数を有する時、その係数は次式により順次定めることができる。 　　A0 = lim f(x) 　　　　　x→∞ 　　A1 = lim x { f(x) - A0 } 　　　　　x→∞ 　　A2 = lim x2 { f(x) - A0 - A1/x } 　　　　　x→∞ 　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 　上述の方法により係数を定めた例題を次に示す。図１は１番目の例題のグラフである。 　　　　　　　∞ 　　exp(x2)∫exp(-t2) dt 〜　1/(2x) - 1/(22x3) + 1・3/(23x5) - 1・3・5/(24x7) + 　・・・・ 　　　　　　　x 　　　　　　　　x 　　exp(-x2)∫exp(t2) dt 〜　1/(2x) + 1/(22x3) + 1・3/(23x5) + 1・3・5/(24x7) + 　・・・・ 　　　　　 　　0 　漸近展開が必要なものはある積分の値を計算する場合が多い。これは前述の方法で求めるよりも、次の例のように部分積分法を連続施工して作るのが便利である。 　　　∞ 　　∫exp(x-t)/t dt 〜　1/x - 1!/x2 + 2!/x3 - 3!/x4 + 　・・・・・ 　　x

参考文献 自然科学者のための数学概論 増訂版改版 寺澤寛一著 たった1日で即戦力になるExcelの教科書 入門者のExcel VBA―初めての人にベストな学び方 (ブルーバックス) Excel VBAのプログラミングのツボとコツがゼッタイにわかる本

Excelを用いた漸近展開による関数近似計算

次の例題を図２のように漸近展開する。 　　　　　　　∞ 　　exp(x2)∫exp(-t2) dt 〜　1/(x) - 1/(2x3) + 1・3/(23x5) - 1・3・5/(24x7) + 　・・・・ 　　　　　　　x 　　　　　　　　　　　　　図2 エクセルを用いた漸近展開による関数近似計算

テイラー級数

三角関数(sin(x))は下式のように、xの１乗、２乗、３j乗・・・（無限につずく）の足し算、引き算に展開できる。これをテイラー級数という。 sin(x) = x/1! - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ・・・・・・ n!はnの階乗(ファクトリアル)といい、5!=5・4・3・2・1=120となる。 エクセル関数はFACT(5)である。 一般的に、 関数ｆ（ｘ）において、テイラーの定理が成立し、テイラーの展開式の剰余（Rn)が0に収束する場合、関数は次の無限級数： 　　　 　　　　 ∞ 　f(x+a) = Σxn/n!・f(m)(a) 　　　　　 　　n=0 となる。これをテイラーの級数という。 f(m)(a)は関数f(x)のｍ階微分関数において、ｘにaを代入した値となる。 a=0 の場合、 　　　 　 　∞ 　f(x) = Σxn/n!・f(m)(0) 　　　　　 n=0 が得られる。これを特に、マクローリン級数という。

エクセルを用いたテイラー展開による関数近似

漸近展開で使用した次の例題を図３のようにテイラー展開する。 　　　　　　　∞ 　　exp(x2)∫exp(-t2) dt 　　　　　　　x 　ただし、テイラー展開するのは積分の部分とし、次式となる。 　　　∞ 　　∫exp(-t2) dt = √π/2 - x + x3/(3・1!) - x5/(5・2!)　+ x7/(7・3!) - 　・・・・・ 　　　x 　　　　　　　　　　　　　　図3 エクセルを用いたテイラー展開による関数近似

　

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