エクセルを用いた漸近展開(漸近級数)とテイラー展開による関数近似計算


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図1 漸近展開とテーラー展開による関数近似例のグラフ


 関数f(x)のxが0近辺の場合、f(x)はテイラー展開で近似できるが、xが十分に大きい場合テイラー展開よりも、漸近展開による近似が効果的である。図1の例題の場合、x<2.6の範囲ではテーラー展開、2.6≦xの範囲では漸近展開を使用すればよい。



漸近級数


 関数を次式の漸近級数に展開する。

  f(x) 〜 A0+A1/x + A2/x2 + A3/x3 + ・・・   ・・・ (1)

 f(x)が(1)の形の漸近級数を有する時、その係数は次式により順次定めることができる。

  A0 = lim f(x)
     x→∞

  A1 = lim x { f(x) - A0 }
     x→∞

  A2 = lim x2 { f(x) - A0 - A1/x }
     x→∞

    ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

 上述の方法により係数を定めた例題を次に示す。図1は1番目の例題のグラフである。

       
  exp(x2)∫exp(-t2) dt 〜 1/(2x) - 1/(22x3) + 1・3/(23x5) - 1・3・5/(24x7) +  ・・・・
       x

        x
  exp(-x2)∫exp(t2) dt 〜 1/(2x) + 1/(22x3) + 1・3/(23x5) + 1・3・5/(24x7) +  ・・・・
        0

 漸近展開が必要なものはある積分の値を計算する場合が多い。これは前述の方法で求めるよりも、次の例のように部分積分法を連続施工して作るのが便利である。

   
  ∫exp(x-t)/t dt 〜 1/x - 1!/x2 + 2!/x3 - 3!/x4 +  ・・・・・
  x


参考文献
自然科学者のための数学概論 増訂版改版
寺澤寛一著

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Excelを用いた漸近展開による関数近似計算



 次の例題を図2のように漸近展開する。

       
  exp(x2)∫exp(-t2) dt 〜 1/(x) - 1/(2x3) + 1・3/(23x5) - 1・3・5/(24x7) +  ・・・・
       x


             図2 エクセルを用いた漸近展開による関数近似計算



テイラー級数


三角関数(sin(x))は下式のように、xの1乗、2乗、3j乗・・・(無限につずく)の足し算、引き算に展開できる。これをテイラー級数という。

sin(x) = x/1! - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ・・・・・・

n!はnの階乗(ファクトリアル)といい、5!=5・4・3・2・1=120となる。
エクセル関数はFACT(5)である。

一般的に、
関数f(x)において、テイラーの定理が成立し、テイラーの展開式の剰余(Rn)が0に収束する場合、関数は次の無限級数:

        
 f(x+a) = Σxn/n!・f(m)(a)
        n=0

となる。これをテイラーの級数という。

f(m)(a)は関数f(x)のm階微分関数において、xにaを代入した値となる。

a=0 の場合、

       
 f(x) = Σxn/n!・f(m)(0)
      n=0

が得られる。これを特に、マクローリン級数という。



エクセルを用いたテイラー展開による関数近似



 漸近展開で使用した次の例題を図3のようにテイラー展開する。

       
  exp(x2)∫exp(-t2) dt
       x

 ただし、テイラー展開するのは積分の部分とし、次式となる。

   
  ∫exp(-t2) dt = √π/2 - x + x3/(3・1!) - x5/(5・2!) + x7/(7・3!) -  ・・・・・
   x


              図3 エクセルを用いたテイラー展開による関数近似



 

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