エクセルを用いたテイラー展開による関数近似

        

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テイラー級数


三角関数(sin(x))は下式のように、xの1乗、2乗、3j乗・・・(無限につづく)の足し算、引き算に展開できる。これをテイラー級数という。

sin(x) = x/1! - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ・・・・・・

n!はnの階乗(ファクトリアル)といい、5!=5・4・3・2・1=120となる。エクセル関数はFACT(5)である。

一般的に、関数f(x)において、テイラーの定理が成立し、テイラーの展開式の剰余(Rn)が0に収束する場合、関数は次の無限級数

                           ∞
 テイラー展開の公式: f(x+a) = Σxn/n!・f(m)(a)
                          n=0

となる。これをテイラーの級数という。

f(m)(a)は関数f(x)のm階微分関数において、xにaを代入した値となる。

a=0 の場合、

       
 f(x) = Σxn/n!・f(m)(0)
      n=0

が得られる。これを特に、マクローリン級数という。


sin(x)のテイラー展開(マクローリン展開)



 関数 f(x) = sin(x) をテイラー級数に展開してみよう。

sin(x)の微分がcos(x),cos(x)の微分が-sin(x)であることを理解していれば、
下表のように、sin(x)を無限に微分することが可能である。

関数値(x=0の時)
関数 f(x) sin(x) 0
1階微分 f'(x) cos(x) 1
2階微分 f''(x) -sin(x) 0
3階微分 f'''(x) -cos(x) -1
4階微分 f''''(x) sin(x) 0
5階微分 f'''''(x) cos(x) 1
・・・ ・・・ ・・・ ・・・

テイラー級数式とこの表より、

sin(x) = x/1!-x3/3!+x5/5!-x7/7! + ・・・・・・

となる。


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EXCELを用いたテイラー展開


エクセルを用い、三角関数sin(x)をテイラー展開し、どこまで関数近似が可能か確認しよう。
xの範囲は-5から5までとする。


            図1 三角関数:sin(x) をテイラー展開したエクセルシート


                     図2 三角関数:sin(x) をテイラー展開した結果のグラフ

図2より、x=0近辺では、低次のテイラー級数でも精度がよいが、xが0から離れるに従い、
高次のテイラー級数が必要となってくる。



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