エクセルを用い空間の直線と平面の交点を求める

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　　　　　　　　　図１　空間の直線と平面の交点計算の説明図　　　　　　　　　

３次元空間の直線と平面の定義

３次元空間の点は座標値(x座標,y座標,z座標)で定義できる。

図２のように、空間の2点をP1,P2,とし、

　P1を( x1, y1, z1)
　P2を( x2, y2, z2)

とおくと、P1とP2と通る直線が定義できる。

空間上にある平面の方程式は(1)式となる。

　ax + by + cz + d = 0 　・・・・・　(1)

　参照：エクセルを用い空間の３点を含む平面の方程式を求める

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３次元空間の直線と平面の交点計算

点P1( x1, y1, z1)から点P2( x2, y2, z2)のベクトルVは(2)式となり、その長さ(L)は(3)式となる。

　　V = (vx, vy, vz) = ( x2-x1, y2-y1, z2-z1)　　　　　　　・・・・・　(2)

　　L = √(vx2 + vy2 + vz2)　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・　(3)

よって、V　の単位ベクトル E は(4)式となる。

　　E = (ex, ey, ez) = ( vx/L, vy/L, vz/L) 　　　　　　　　・・・・・　(4)

点P1から距離 k にある直線上の点Qは(5)式となる。

　Q = P1 + k E = ( x1 + k・ex,　y1 + k・ey,　z1 + k・ez) 　　・・・・・　(5)

(Q点が(1)式の平面上に含まれる条件式)はQ点の座標を(1)式に代入した(6)式となる。

　a( x1 + k・ex) ＋ b( y1 + k・ey ) + c( z1 + k・ez ) + d = 0 　　・・・・・　(6)

(6)式より、 (7)式が導出され、ｋが算出できる。
　
　　k = - ( a・x1+ b・y1 + c・z1 + d )/( a・ex + b・ey + x・ez )　　　・・・・・　(7)

k（点P1から交点Qまでの距離）を(5)式に代入すると、直線と平面の交点Qが求まる。

エクセルを用いて空間の直線と平面の交点を求めてみよう

エクセルを用いて空間の直線と平面の交点を求める例題を図２に示す。

　図２　空間の直線と平面の交点を求めるエクセルシート

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