エクセルを用い空間の直線と平面の交点を求める

        

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         図1 空間の直線と平面の交点計算の説明図         

3次元空間の直線と平面の定義


3次元空間の点は座標値(x座標,y座標,z座標)で定義できる。

図2のように、空間の2点をP1,P2,とし、

 P1を( x1, y1, z1)
 P2を( x2, y2, z2)

とおくと、P1とP2と通る直線が定義できる。

空間上にある平面の方程式は(1)式となる。

 ax + by + cz + d = 0  ・・・・・ (1)

 参照:エクセルを用い空間の3点を含む平面の方程式を求める


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3次元空間の直線と平面の交点計算



点P1( x1, y1, z1)から点P2( x2, y2, z2)のベクトルVは(2)式となり、その長さ(L)は(3)式となる。

  V = (vx, vy, vz) = ( x2-x1, y2-y1, z2-z1)       ・・・・・ (2)

  L = √(vx2 + vy2 + vz2)                  ・・・・・ (3)

よって、V の単位ベクトル E は(4)式となる。

  E = (ex, ey, ez) = ( vx/L, vy/L, vz/L)          ・・・・・ (4)

点P1から距離 k にある直線上の点Qは(5)式となる。

 Q = P1 + k E = ( x1 + k・ex, y1 + k・ey, z1 + k・ez)   ・・・・・ (5)

(Q点が(1)式の平面上に含まれる条件式)はQ点の座標を(1)式に代入した(6)式となる。

 a( x1 + k・ex) + b( y1 + k・ey ) + c( z1 + k・ez ) + d = 0   ・・・・・ (6)

(6)式より、 (7)式が導出され、kが算出できる。
 
  k = - ( a・x1+ b・y1 + c・z1 + d )/( a・ex + b・ey + x・ez )   ・・・・・ (7)

k(点P1から交点Qまでの距離)を(5)式に代入すると、直線と平面の交点Qが求まる。



エクセルを用いて空間の直線と平面の交点を求めてみよう


エクセルを用いて空間の直線と平面の交点を求める例題を図2に示す。


 図2 空間の直線と平面の交点を求めるエクセルシート





 





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