エクセルを用い空間の3点を含む平面の方程式を求める

        

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       図1 空間の3点と平面の方程式の説明         
空間の3点と平面の方程式


空間の点は座標値(x座標,y座標,z座標)で定義できる。

空間の3点をP1,P2,P3とすると、

 P1を( x1, y1, z1)
 P2を( x2, y2, z2)
 P3を( x3, y3, z3)

とおける。

空間上にある平面の方程式は(1)式となる。

 ax + by + cz + d = 0  ・・・・・ (1)

(1)の平面の方程式がP1(x1,y1,z1)点を含むためには

 ax1 + by1 + cz1 + d = 0 ・・・・・ (2)

が成立する必要がある。

同様に、(1)の平面の方程式がP1,P3点を含むためには

 ax2 + by2 + cz2 + d = 0 ・・・・・ (3)

 ax3 + by3 + cz3 + d = 0 ・・・・・ (4)

が成立する必要がある。


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平面方程式の係数(a,b,c)は平面の法線ベクトル



平面に対し、直角方向を向くベクトルを法線ベクトルという。

平面の方程式(1)の係数(a,b,c)は平面の法線ベクトルとなる。

平面の法線ベクトル(a,b,c)が求まれば、(2)式を変換した(5)式
より d が求まり、平面の方程式が定まる。

  d = - ( ax1 + by1 + cz1)  ・・・・・ (5)



ベクトル外積計算で法線ベクトルを求める


点P1から点P2ベクトルのベクトルをS点P1から点3ベクトルのベクトルをTとすると、

  S = ( Sx , Sy, Sz) = ( x2-x1, y2-y1, z2-z1)
  T = ( Tx , Ty, Tz) = ( x3-x1, y3-y1, z3-z1)

となる。

平面内のベクトルS とベクトルT の外積 (S×T)は2つのベクトルに直角となる
ベクトルであり、平面の法線ベクトルと同方向をとなる。すなわち、

  (a,b.c) = ( Sx , Sy, Sz)×( Tx , Ty, Tz)
      = (Sy・Tz−Sz・Ty,Sz・Tx−Sx・Tz,Sx・Ty−Sy・Tx)  ・・・・・ (6)

                 参考:エクセルを用いたベクトルの外積計算

となる。

ただし、法線ベクトルは大きさ1の単位ベクトルに設定する。



エクセルを用いて空間の3点を含む平面の方程式を求てみよう


 図2のように、空間の3点を設定すれば、エクセルで平面の方程式を求める
ことが出来る。


       図2 平面の方程式を求めるエクセルシート



エクセルのソルバーを用いて空間の3点を含む平面の方程式を求てみよう


 図3のように、平面の方程式の係数(a,b,c)に適当な数値を設定し、空間3点でのax+by+cz+d
を計算します。
計算結果が0になれば正解ですが、係数が適当なため0にはならない。
法線ベクトルの大きさ a2 + b2 + c2 も計算します。


      図3 係数(a,b,c,d)から空間3点のax+by+cz+dを求めるエクセルシート

 メニューバーで、ツール→ソルバーを選択するとソルバー:パラメータ設定画面が現れます。
目的セルにはダミーのセルを設定します。目標値は最大値を選択します。
変化させるセルには係数(a,b,c,d)のセルを設定します。
制約条件として3点のax+by+cz+dの値=0とします。また、法線の大きさ=1とします。


   図4 ソルバー:パラメータ設定画面

 図4のソルバーの実行ボタンをクリックすると、


       図5 ソルバーを実行し平面の方程式を求めるエクセルシート

図5のように、平面の方程式の係数(a,b,c,d)が算出され、空間3点のax+by+cz+d の値が0となっている。
また、ベクトル外積で算出した場合の係数(a,b,c,d)と同値である。



エクセルを用い空間の直線と平面の交点を求める


 





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