エクセルを用い空間の３点を含む平面の方程式を求める

　　 　　　　　

Excelを用いた科学技術計算が第2版になりました　30年10月！

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図１　空間の３点と平面の方程式の説明

空間の３点と平面の方程式

空間の点は座標値(x座標,y座標,z座標)で定義できる。 空間の３点をP1,P2,P3とすると、 　P1を( x1, y1, z1) 　P2を( x2, y2, z2) 　P3を( x3, y3, z3) とおける。 空間上にある平面の方程式は(1)式となる。 　ax + by + cz + d = 0 　・・・・・　(1) (1)の平面の方程式がP1(x1,y1,z1)点を含むためには 　ax1 + by1 + cz1 + d = 0　・・・・・　(2) が成立する必要がある。 同様に、(1)の平面の方程式がP1,P3点を含むためには 　ax2 + by2 + cz2 + d = 0 ・・・・・　(3) 　ax3 + by3 + cz3 + d = 0 ・・・・・　(4) が成立する必要がある。

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平面方程式の係数(a,b,c)は平面の法線ベクトル

平面に対し、直角方向を向くベクトルを法線ベクトルという。 平面の方程式(1)の係数(a,b,c)は平面の法線ベクトルとなる。 平面の法線ベクトル(a,b,c)が求まれば、(2)式を変換した(5)式 より d が求まり、平面の方程式が定まる。 　　d = - ( ax1 + by1 + cz1) 　・・・・・　(5)

ベクトル外積計算で法線ベクトルを求める

点P1から点P2ベクトルのベクトルをS、点P1から点3ベクトルのベクトルをTとすると、 　　S = ( Sx , Sy, Sz) = ( x2-x1, y2-y1, z2-z1) 　　T = ( Tx , Ty, Tz) = ( x3-x1, y3-y1, z3-z1) となる。 平面内のベクトルS とベクトルT　の外積 (S×T)は２つのベクトルに直角となる ベクトルであり、平面の法線ベクトルと同方向をとなる。すなわち、 　 (a,b.c)　= ( Sx , Sy, Sz)×( Tx , Ty, Tz) 　　　　　　= （Sｙ・Tｚ−Sｚ・Tｙ，Sｚ・Tｘ−Sｘ・Tｚ，Sｘ・Tｙ−Sｙ・Tｘ）　　・・・・・　(6) 　　　　　　　　　　　　　　　　　参考：エクセルを用いたベクトルの外積計算 となる。 ただし、法線ベクトルは大きさ１の単位ベクトルに設定する。

エクセルを用いて空間の３点を含む平面の方程式を求てみよう

図２のように、空間の３点を設定すれば、エクセルで平面の方程式を求める ことが出来る。 　　　　　　　図２　平面の方程式を求めるエクセルシート

エクセルのソルバーを用いて空間の３点を含む平面の方程式を求てみよう

図３のように、平面の方程式の係数(a,b,c)に適当な数値を設定し、空間３点でのax+by+cz+d を計算します。 計算結果が０になれば正解ですが、係数が適当なため０にはならない。 法線ベクトルの大きさ　a2 + b2 + c2 も計算します。 　　　　　　図３　係数(a,b,c,d)から空間３点のax+by+cz+dを求めるエクセルシート 　メニューバーで、ツール→ソルバーを選択するとソルバー：パラメータ設定画面が現れます。 目的セルにはダミーのセルを設定します。目標値は最大値を選択します。 変化させるセルには係数(a,b,c,d)のセルを設定します。 制約条件として３点のax+by+cz+dの値＝０とします。また、法線の大きさ＝１とします。 　　　図４　ソルバー：パラメータ設定画面 　図４のソルバーの実行ボタンをクリックすると、 　　　　　　　図５　ソルバーを実行し平面の方程式を求めるエクセルシート 図５のように、平面の方程式の係数(a,b,c,d)が算出され、空間３点のax+by+cz+d　の値が０となっている。 また、ベクトル外積で算出した場合の係数(a,b,c,d)と同値である。

エクセルを用い空間の直線と平面の交点を求める


　





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（Yahoo Japan 掲載）

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