エクセルのソルバーを用いた点から直線への垂線計算

        

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     図1 点から直線に垂線を下す例題のグラフ

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点と直線の定義

 
図1のように、P点から直線に垂線を下ろします。

直線は2点(始点と終点)の座標(x、y)で表現できます。

直線の 始点(xs, ys)、 終点(xe,ye) とします。

P点は座標(xp,yp)で表現できます。

直線上の垂線の足、Q点の座標(xq,yq)が求めたい値となります。



垂線の足(座標)を求める




図2 P点と直線上の点との距離(L)が最小となる点が垂線の足(Q点)となる。


直線の長さ(T)は始点(xs,ys)と終点(xe,ye)の座標より(1)式となる。

 T = √( (xe-xs) 2 + (ye-ys)2 )   ・・・・・ (1)
(ピタゴラスの定理(3平方の定理)です。)

直線の始点から終点への単位ベクトル(vx,vy)は

(vx,vy) = ( (xe-xs)/T, (ye-ys)/T ) となる。

直線の始点(xs,ys)から距離 k にある直線上の点Q(xq,yq)は

(xq,yq) = (xs,ys) + k(vx,vy) で表現できます。

P点とQ点間の距離(L)は(2)式となる。

  L = √( (xq-xp) 2 + (yq-yp)2 )   ・・・・・ (2)



エクセルを用いP点から直線に垂線の足を下ろす


P点を ( 2, 3)、直線の 始点(5,2)、終点(1,7)とします。

図3のように、直線の始点から距離( k ) =1 にある直線上の点Qををエクセルで求めます。


          図3 直線の始点から距離( k ) =1 にある直線上の点Qを求めたエクセルシート

図3より、Q点は垂線の足になりませんね。

それては、ソルバーを用い、P点とQ点間の距離(L)を最小にしましょう。

メニューバーのツール−ソルバーを選択すると、図4のソルバー:パラメータ設定画面が表示される。
変化させるセルを始点からの長さ(k)とし、目的セルを距離(L)に設定し、目標値を最小値に設定します。


           図4 ソルバー:パラメータ設定画面

図4のソルバーを実行ボタンをクリックすると、PQ間の距離が最小となり、図5のように、垂線の足が求まります。


                    図5 垂線の足を求めるソルバーの実行結果

図5のグラフより、直線とPQ線は直角に交わっているようです。


エクセルを用い点から直線に垂線を下ろす






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