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エクセルを用いた点から直線への垂線計算

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　　　図1　点から直線に垂線を下す例題のグラフ

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点と直線の定義

図１のように、P点から直線に垂線を下ろしましょう。
　
P点は座標(xp,yp)で表現できます。

直線は2点（始点と終点）の座標（ｘ、ｙ）で表現できます。

始点座標は（xs, ys)、終点座標は(xe,ye)とします。

直線の方程式

直線の方程式は　

　　ax + by + c = 0　　・・・・・　(1)

と表現できる。

(1)式の係数 a,b,c は直線の始点(xs,ys)、終点(xe,ye)座標から求まり、

a = ye - ys
b = xs - xe
c = -( a・xs + b・ys )

となる。

P点から直線に垂線の足を下ろす

直線の始点(xs,ys)、終点(xe,ye)間の距離(L)は

　　L = √(　( xe-xs)² + (ye-ys)² ) 　　　・・・・・　(2)

となる。

直線方向の単位ベクトル(ex,ey)は下式となる。

ex = (xe - xs) / L
ey = (ye - ys) / L

この直線に直角な単位ベクトル( vx,vy )は下式となる。

　vx = -ey
　vy = 　ex

いま、P点(xp,yp)から直線までの距離（最短距離）をkとすると、
（最短距離はP点から垂線の足までの長さとなる）

P点(xp,yp)から直線の直角方向(vx,vy)にｋだけ移動した点

　x = xp + k・vx 　　　　・・・・・　(3)
　y = yp + k・vy 　　　　・・・・・　(4)

は直線の方程式（ (1)式　ax+by+c = 0 ）上にある。

よって、(3)(4)式のx,yを(1)式の方程式に代入すると、(5)式により、距離ｋが求まる。

　k = - (a・xp + b・yp + c)/(a・vx+b・vy)　　　・・・・・　(5)

求まった距離ｋと(3)(4)式より、垂線の足の座標(xq,yq)が次式で求まる。

　xq = xp + k・vx　　　・・・・・　(6)
　yq = yp + k・vy　　　・・・・・　(7)

エクセルを用いP点から直線へ垂線を下ろす

　P点座標、(xp,yp) = ( 2, 3) とする。

　直線の始点 ( 5 ,2), 終点( 1 ,7)とし、

図２のように、エクセルを用いP点から直線へ垂線を下ろしましょう。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図２　点から線に垂線を下す例題のエクセルシート

うまく垂線の足が求まりました。

エクセルのソルバーを用い点から直線に垂線を下ろす

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