エクセルを用いたフーリエ級数

        

フーリエ級数

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 同じ形を繰り返す周期的な関数は三角関数(sin,cos)の無限級数で表せる。これをフーリエ級数という。範囲[-π,π]で定義された関数f(x)は次の級数に展開できる。
 
    
      

関数 y=x (ーπ < x < π)が周期的に繰り返す場合、次のグラフになる。


                     図1 フーリエ級数の例題のグラフ
これをフーリエ級数で表すと、

y = 2{sin(x)/1-sin(2x)/2+sin(3x)/3-sin(4x)/4+sin(5x)/5 - ・・・・・・・ }

となる。


フーリエ級数の計算


 
 エクセルでフーリエ級数を計算してみよう。
ちなみに、πは関数( =pi() )で設定できます。


                         図2 フーリエ級数展開を行ったエクセルシート


                              図3 フーリエ級数展開結果のグラフ

図3より、次数を多くすると、直線に近づいていくのが解ります。



オイラーの級数


例題の関数(y=x)は直線のため、x=π/2の時、 y=π/2 となる。

フーリエ展開式において、x=π/2 とおけば、
y = 2{sin(x)/1-sin(2x)/2+sin(3x)/3-sin(4x)/4+sin(5x)/5 - ・・・・・・・ }
y = 2(1-1/3+1/5-1/7 ・・・・・・・・)
となる。

関数とフーリエ展開式は等しい。すなわち、

π/2 = 2(1-1/3+1/5-1/7 ・・・・・・・・)

π/4 = 1-1/3+1/5-1/7 ・・・・・・・・

という、Leibniz又はオイラー(Eular)の級数と称するものが得られる。

正負が交互に現れるため、エクセルで計算しても、なかなか一致しませんよ。オイラーさん!!!


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