エクセルのソルバーを用いた最速降下線(サイクロイド曲線)の計算

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図1最速降下線(サイクロイド曲線)と適当な降下線グラフ

最速降下線


 重力の作用をうけ、鉛直平面内でなめらかな曲線に沿って降下する物体を考える。初速度なしで出発点から目的値まで最も速く到達する経路を最速降下線という。この経路は直線ではなく、サイクロイドという曲線である。
 この問題はベルヌーイ(J.Bernoulli,1667-1748)によってヨーロッパ中のすぐれた数学者に対して提出された。ニュートンは直ちにこれを解き、匿名でベルヌーイに送ったところ、ベルヌーイはその解法をみてすぐに解答者を知ったということである。
 直線に沿って円が転がるとき円周上の点の軌跡をサイクロイドという。自転車の車輪上の点はサイクロイド曲線を描く。

 原点(0,0)を出発点とするサイクロイド曲線の方程式は次式となる。

  x = a(θ-sinθ)
  y = a( 1-cosθ)

       (x,y) : 座標
       a : 円の半径
       θ: 回転角(媒介変数)

 エクセルを用いて、図2のように半径1のサイクロイド曲線を計算した。


            図2 エクセルを用いたサイクロイド曲線の計算とグラフ


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物体の高さ(y)と速度(v)の関係(エネルギー保存の法則)



 高さy=0で静止していた質量mの物体は高さがy(負)になると位置エネルギーが運動エネルギーに変換される。

  減少した位置エネルギー : -mgy      (g:重力の加速度)
  増加した運動エネルギー : (1/2)mv2
                            

 エネルギー保存の法則より、減少した位置エネルギーは増加した運動エネルギーに等しい。

  -mgy = (1/2)mv2

 上式より、物体の高さと速度の関係式が導出できる。

 v = √(-2gy)



エクセルのソルバーを用い、最速降下線を計算する


 最速降下線は物体の移動時間が最小となる。そのためエクセルのソルバーが適応できる。

図3のように、適当な降下線を設定し、移動時間を集計する。その計算手順を下記に示す。

@理論解の計算

 サイクロイドの方程式を使い理論解(x,y)を計算する。半径10の円で角度を0〜2(ラジアン)とした。

A適当な水平位置(x’)、高さ(y’)の設定
 
  始点,終点では理論解と一致させるがあとは適当な値を設定する。ただし、x座標は等分割とした。

B移動距離の計算

 適当に設定した位置データより直線距離を計算する。

C速度(v)計算

 速度(v)=√(-2gy') を計算する。

D経過時間の計算

 経過時間 = 距離/今の速度と手前の速度の平均

E経過時間の合計計算


           図3 適当な降下線の設定による経過時間の計算

メニューバーよりツール→ソルバーを選択すると次のパラメータ設定画面が現れる。


               図4 パラメータ設定画面

目的セルは経過時間の合計を設定する。目標値として最小値を選択する。変化させるセルは適当な高さ(y')の領域を設定する。ただし始点,終点は除外する。実行ボタンをクリックすると、図5の結果、図6のグラフとなり、適当な降下線が理論解と一致することが解る。


                  図5 ソルバーの実行結果


   図6 適当な降下線が最速降下線と一致したグラフ




 こんなことは誰もやらないだろう、出来ないだろと思いながらトライしてみると、簡単にできました。ゴッドフット企画のオリジナルです。
複製物を見せる場合には必ず著作者(ゴッドフット企画)を表示して下さい。

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