エクセルのソルバーで操る!ヒッチコック・ベアストウ法による高次代数方程式の解計算

        

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図1 例題の高次代数関数


ヒッチコック・ベアストウ法


 ヒッチコック・ベアストウ法は、実係数の高次代数方程式の実根および虚根を求めるのに良く使われる。

n次代数方程式を(1)式とする。

   f(x) = xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ・・・・・ + an-1x + an = 0    ・・・・・ (1)

 2個の実数をp,qとし、このp,qを使用し、(1)式を次式に展開する。

   f(x) = (x2 + px + q)(xn-2 + b1xn-3 + ・・・・ + bn-3x + bn-2) + Rx + S   ・・・・・ (2)

 ここで、RとSが0となるp,qがもとまれば、(2)式は因数分解ができたことになり、(3)式の2次方程式の2根が解となる。

  x2 + px + q=0  ・・・・・ (3)

 2次方程式の解は次式となる。

  x =(-p±√(D))/2
  D = b2-4q
  Dが負の時、虚根となる。

 2根が求まれば、同様に残ったn-2次代数方程式を次々と解いてゆけばよい。


 (2)式を展開すると、次の関係式が得られる。

  b1 = a1 - p

  b2 = a2 - pb1 - q

  b3 = a3 - pb2 - qb1
  ・・・・・・・・・
  bk = ak - pbk-1 - qbk-2
   ・・・・・・・・・・
   bn-2 = an-2 - pbn-3 - qbn-4

   R = an-1 - pbn-2 - qbn-3

   S = an - qbn-2




エクセルで操る!ヒッチコック・ベアストウ法による高次代数方程式の根計算


 4次代数方程式 f(x) = x4  - 2x3 - 7x2 + 4x + 3 = 0の根を求めてみよう。

 適当なp,qを設定し、方程式の係数からbnとR,Sを算出する。



              図2 ソルバー実行前


メニューバーのツール−ソルバーを選択すると、図3のソルバー:パラメータ設定画面が表示される。
変化させるセルをp,qとし、目的セルをRに設定し、目標値を0に設定し、制約条件として、S=0を設定する。


         図3 ソルバーのパラメータ設定画面

 ソルバーを実行すると、R,Sが0となるp,qが算出され、2根が求まる。


                   図4 ソルバー実行後


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