エクセルで操る!デュラン・ケルナー・アバース法(DKA法)による高次代数方程式の解計算

        

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図1 例題の高次代数関数


図2 DKA法よる複素平面上の収束状態

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デュラン・ケルナー法


 デュラン・ケルナー法は、実係数の高次代数方程式の実根および虚根を求めるのに良く使われる。

n次代数方程式を(1)式とする。

   f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ・・・・・ + an-1x + an = 0    ・・・・・ (1)

 上記、代数方程式の解をαiとすると、

   f(x) = a0(x-α1)(x-α2)・・・(x-αn)   ・・・・・ (2)

となる。

これを微分し、x=αjの微分を求めると、次式となる。

  f'(αj) = a0 Π(αj-αi)  ・・・ (3)

 Πはi=jを除き、iが1〜nまで、(αj-αi)を掛け算する。

 ニュートン法を適用し、解が収束するまで次式を繰り返す。

  xj = xj-f(xj)/f'(xj) = xj-f(xj)/(a0Π(xj-xi))  ・・・・ (4)




アバースの初期値


 デュラン・ケルナー法はその初期値を適正に設定することが重要である。

 ここでは、アバースの初期値を設定する。

 根の重心βを中心とし、すべての根がその内部に含まれる半径Rの円周上に初期値を設定する。

 根の重心βは次式となる。

 β=(α1+α2+ ・・・+αn)/n = a1/(n・a0)   ・・・・・ (5)

初期値は次式となる。

 xj = β+ R・cos((2π(j-1)+3/2)/n) +i・R・sin((2π(j-1)+3/2)/n)  ・・・・ (6)

 アバースの初期値から出発し、デュラン・ケルナー法で解を求める方法をデュラン・ケルナー・アバース法という。




エクセルで操る!デュラン・ケルナー・アバース法による4次代数方程式の根計算


 4次代数方程式 f(x) = x4  - 2x3 - 7x2 + 4x + 3 = 0の根を求めてみよう。

 適当なRを設定し、初期値を設定する。

 Excelに複素数の計算の参考:エクセルを用いた虚数、複素数計算


              図3 DKA法の計算


 収束途中の複素数を実数と虚数に分離すると下表となる。


                   図4 収束途中の複素数を実数と虚数に分離


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