エクセルを用いた指数分布に従う乱数(指数乱数)の発生とヒストグラム


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図1 指数乱数の頻度確率分布のグラフ

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初期生起時刻、再帰時間は指数分布


 最初のウェブ訪問者が訪問する時間(t)は指数分布となる。同様に、再帰時間(一度訪問者が訪れてから次の訪問者が訪れるまでの時間)も指数分布となる。発生率λのポアソン過程の場合、指数分布は次式となる。

 f(t) = λe-λt   ・・・ (1)

      ただし、t ≧0 である。

指数分布の平均E(X),分散E(X2)は次の式となる。

 平均 E(X) = 1/λ

 分散 E(X2) = 1/λ2



指数乱数


 指数分布に従う乱数を指数乱数という。

一般的に、一様乱数(x)と頻度分布を f(t)とする分布関数の関係は次式となる。

  x = ∫f(t) dt      (2)

(2)式の頻度分布f(x)に(1)式の指数関数を当てはめると、次式となる。

  x = 1-exp(-λ・t)
 
  t = -(1/λ)・ln( 1-x )     (3)

(3)式を用いれば、一様乱数(x)から指数分布に従う時間(t)の乱数が求まる。

(1-x)は0〜1の一様乱数であるため、(3)式は次式となる。

 t = -(1/λ)・ln( x )        (4)



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Excelを用いた指数乱数の発生



 図2のように、Excel関数を用い総数2000個の指数乱数を発生させた。その平均値、標準偏差はほぼ1/λとなっている。


        図2 エクセルを用いた指数乱数の発生



度数分布表とヒストグラム



 表1のように、度数分布表はデータを階級に分け、階級の度数(データの個数)を表にしたものである。

 表1 クラスの身長の度数分布表
 身長の階級 度数(人)
140〜150 2
150〜150 5
160〜170 13
170〜180 25
180〜 2

 ヒストグラム(度数分布図)はこの度数分布表をグラフにしたものである。
 クラス全員の身長のデータがあればExcelのヒストグラム機能を用いて、その度数分布表、ヒストグラムは容易に作成できる。

 指数乱数のデータの度数分布表を作成し、指数分布と比較する必要がある。



Excelを用いた指数乱数の頻度確率分布



 図3のように、度数分布表の階級を設定する。(範囲 0〜3、幅0.1とした)


             図3 度数分布表の階級設定
 
 ツールバーのツール→分析ツールをクリックすると次のデータ分析画面が現れる。


               図4 データ分析画面

ヒストグラムを選択し、OKボタンをクリックすると次のヒストグラム画面が現れる。


             図5 ヒストグラム画面

入力範囲:指数乱数データの範囲を設定する。
データ区間:階級データの範囲を設定する。
出力先:これを選択し、ヒストグラムシートの左上の範囲を設定した。
OKボタンをクリックすると、図6のように出力先のシートに度数分布表が現れる。


        図6 度数分布表

 図7のように、頻度と標準正規分布を比較するため、頻度確率と標準正規分布を計算する。

 頻度確率 = 頻度/{(データ総数=2000)(データ区間幅=0.1)


                   図7 頻度確率と指数分布の計算

 x、頻度確率、指数分布の散布図を作成する。指数乱数の頻度確率分布は指数分布に近いことがわかる。


         図8 指数乱数の頻度確率分布グラフ

 散布図作成の参考:エクセル(EXCEL)を用いてグラフを作ってみよう



エクセルを用いた標準正規分布に従う乱数(正規乱数)の発生とヒストグラム


 

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