エクセルを用いた標準正規分布に従う乱数(正規乱数)の発生とヒストグラム

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図1 正規乱数の頻度確率分布のグラフ

正規乱数


 平均値がμ、標準偏差がσの正規分布は次式となる。この正規分布に従う乱数を正規乱数という。

   f(x) =1/(√(2π)σ)exp{-(x-μ)2/(2σ2)}

 平均値が0、標準偏差が1の正規分布を標準正規分布といい、この正規乱数(Z)が発生できれば、次式により一般の正規乱数(Zu)が発生出来る。

 Zu = σ( Z )+ μ

 一様乱数から標準正規分布に従う擬似乱数を発生させる方法としてボックス-ミュラー法がある。一様分布に従う確率変数X1,X2に対して次式のZ1,Z2が1組の独立な正規確率変数となることを利用する。

 Z1 = √(-2・ln X1)cos(2πX2)

 Z2 = √(-2・ln X1)sin(2πX2)

Excel関数では0〜1の一様乱数を発生させる関数RAND()があり、この関数を利用し正規乱数を発生する。


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Excelを用いた正規乱数の発生



 図2のように、Excel関数を用い総数2000個の正規乱数を発生させた。その平均値は0、標準偏差は1に近い値となっている。

 参考 : エクセルを用い平均値と標準偏差から偏差値を計算する


        図2 エクセルを用いた正規乱数の発生



度数分布表とヒストグラム



 表1のように、度数分布表はデータを階級に分け、階級の度数(データの個数)を表にしたものである。

 表1 クラスの身長の度数分布表
 身長の階級 度数(人)
140〜150 2
150〜150 5
160〜170 13
170〜180 25
180〜 2

 ヒストグラム(度数分布図)はこの度数分布表をグラフにしたものである。
 クラス全員の身長のデータがあればExcelのヒストグラム機能を用いて、その度数分布表、ヒストグラムは容易に作成できる。

 正規乱数のデータの度数分布表を作成し、標準正規分布と比較する必要がある。



Excelを用いた正規乱数の頻度確率分布



 図3のように、度数分布表の階級を設定する。(範囲-3〜3、幅0.2とした)

 
             図3 度数分布表の階級設定
 
 ツールバーのツール→分析ツールをクリックすると次のデータ分析画面が現れる。


               図4 データ分析画面

ヒストグラムを選択し、OKボタンをクリックすると次のヒストグラム画面が現れる。


             図5 ヒストグラム画面

入力範囲:正規乱数データの範囲を設定する。
データ区間:階級データの範囲を設定する。
出力先:これを選択し、ヒストグラムシートの左上の範囲を設定した。
OKボタンをクリックすると、図6のように出力先のシートに度数分布表が現れる。


        図6 度数分布表

 図7のように、頻度と標準正規分布を比較するため、頻度確率と標準正規分布を計算する。

 頻度確率 = 頻度/{(データ総数=2000)(データ区間幅=0.2)

 標準正規分布 = NORMDIST(x,0,1,FALSE)


          図7 頻度確率と標準正規分布の計算

 x、頻度確率、正規分布の散布図を作成する。正規乱数の頻度確率分布は標準正規分布に近い。


         図8 正規乱数の頻度確率分布グラフ

 散布図作成の参考:エクセル(EXCEL)を用いてグラフを作ってみよう



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