エクセルを用いたポアソン分布、指数分布の計算

エクセルを用いたポアソン分布、指数分布の計算

Excelを用いた科学技術計算が第2版になりました　30年10月！

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図1　ポアソン分布となるウェブ訪問者数の例題グラフ

ポアソン分布

　単位時間にλ人の訪問者があるウェブの場合、時刻0から時刻tの間に訪問者がｘ人である確率P(x)は次式に従う。

　　P(x) = {(λt)^x/x！}・e^-λt　・・・　(1)

この確率分布をポアソン分布という。

連続する時間上で生起する事象を表すモデルとして、ポアソン過程があり、下記の条件を満足する。

①　微小時間をΔtとするとき、任意の時刻tからt+Δtの間に事象生起する確率は、時刻tに無関係にλΔtであたえられる。ただしλは発生率と呼ばれる定数である。
②　時刻tからt+Δtの間に事象が２回以上生起する確率は、λΔtに比べて無視できる。
③　重複しない２つの区間における事象の生起は独立である。

　μ=λtとおくと、(1)式は(2)式となる。

　　ポアソン分布関数：　P(x) = (μ^x/x！)・e^-μ　・・・　(2)

(2)式は、μ人のウェブ訪問者がある場合、その時間内に来る訪問者数の確率分布である。エクセルのポアソン分布関数はこの(2)式にあたる。

　ウェブ訪問者の場合、時間帯(曜日、昼夜等)によりλの値は変化するため完全なポアソン過程とは言いがたい。
　パチンコで入賞した時、ある確率で特賞となる。設定された特賞確率値に基づき、コンピュータが乱数を発生させ制御しているため、完全なポアソン過程といえる。ただし、生起する時間ではなく入賞回数が対象となる。

ポアソン分布の平均E(X),分散E(X²)は次の式となる。

　平均　E(X) = λt = μ

分散　E(X²) = λt = μ

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Excelを用いたポアソン分布の計算

　エクセルには次のポアソン分布関連の関数があり、計算に利用できる。

①　n！= FACT(n)
②　乗数計算 μ^x = μ^x
③　指数計算　e-μ = EXP(-μ)
④　ポアソン分布関数 = POISSON(x,μ,false)
　　 falseがtrue の場合、x以下の確率となる。

　訪問者が1分間に５人来るウェブの場合、1分間の訪問者がx人である確立分布の計算は図2となる。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図2 エクセルを用いたポアソン分布の計算例

初期生起時刻、再帰時間は指数分布

　最初のウェブ訪問者が訪問する時間(t)は指数分布となる。同様に、再帰時間(一度訪問者が訪れてから次の訪問者が訪れるまでの時間)も指数分布となる。発生率λのポアソン過程の場合、指数分布は次式となる。

　f(t) = λe^-λt　　・・・　(3)

　　　　　　ただし、t ≧0 である。

指数分布の平均E(X),分散E(X²)は次の式となる。

　平均　E(X) = 1/λ

　分散　E(X²) = 1/λ²

Excelを用いた指数分布の計算

図3　指数分布の例題グラフ

発生率λ=5の場合、指数分布は図4のように計算できる。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　図4 エクセルを用いた指数分布の計算例

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