エクセルを用いたポアソン分布、指数分布の計算

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図1 ポアソン分布となるウェブ訪問者数の例題グラフ

ポアソン分布


 単位時間にλ人の訪問者があるウェブの場合、時刻0から時刻tの間に訪問者がx人である確率P(x)は次式に従う。

  P(x) = {(λt)x/x!}・e-λt ・・・ (1)

この確率分布をポアソン分布という。

連続する時間上で生起する事象を表すモデルとして、ポアソン過程があり、下記の条件を満足する。

@ 微小時間をΔtとするとき、任意の時刻tからt+Δtの間に事象生起する確率は、時刻tに無関係にλΔtであたえられる。ただしλは発生率と呼ばれる定数である。
A 時刻tからt+Δtの間に事象が2回以上生起する確率は、λΔtに比べて無視できる。
B 重複しない2つの区間における事象の生起は独立である。

 μ=λtとおくと、(1)式は(2)式となる。

  ポアソン分布関数: P(x) = (μx/x!)・e ・・・ (2)

(2)式は、μ人のウェブ訪問者がある場合、その時間内に来る訪問者数の確率分布である。エクセルのポアソン分布関数はこの(2)式にあたる。

 ウェブ訪問者の場合、時間帯(曜日、昼夜等)によりλの値は変化するため完全なポアソン過程とは言いがたい。
 パチンコで入賞した時、ある確率で特賞となる。設定された特賞確率値に基づき、コンピュータが乱数を発生させ制御しているため、完全なポアソン過程といえる。ただし、生起する時間ではなく入賞回数が対象となる。

ポアソン分布の平均E(X),分散E(X2)は次の式となる。

 平均 E(X) = λt = μ

分散 E(X2) = λt = μ


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参考文献
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Excelを用いたポアソン分布の計算



 エクセルには次のポアソン分布関連の関数があり、計算に利用できる。

@ n!= FACT(n)
A 乗数計算 μx = μ^x
B 指数計算 e-μ = EXP(-μ)
C ポアソン分布関数 = POISSON(x,μ,false)
   falseがtrue の場合、x以下の確率となる。

 訪問者が1分間に5人来るウェブの場合、1分間の訪問者がx人である確立分布の計算は図2となる。


                      図2 エクセルを用いたポアソン分布の計算例



初期生起時刻、再帰時間は指数分布


 最初のウェブ訪問者が訪問する時間(t)は指数分布となる。同様に、再帰時間(一度訪問者が訪れてから次の訪問者が訪れるまでの時間)も指数分布となる。発生率λのポアソン過程の場合、指数分布は次式となる。

 f(t) = λe-λt   ・・・ (3)

      ただし、t ≧0 である。

指数分布の平均E(X),分散E(X2)は次の式となる。

 平均 E(X) = 1/λ

 分散 E(X2) = 1/λ2



Excelを用いた指数分布の計算


図3 指数分布の例題グラフ


発生率λ=5の場合、指数分布は図4のように計算できる。


                  図4 エクセルを用いた指数分布の計算例



 

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