エクセルを用いたルンゲクッタフェールベルグ法(Runge-Kutta-Fehlberg method:RKF45)


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          図1 ルンゲクッタフェールベルグ法で解いた例題のグラフ


 常微分方程式のポピュラーな解法は4段4次のルンゲクッタ法である。ここでは、より高性能である6段5次のルンゲクッタフェールベルグを説明する。Runge-Kutta-Fehlberg法は誤差をチェックし、時間刻み幅を変更しながら計算するため、4次のルンゲクッタ法と比較して非常に精度が良い方法である。


ルンゲクッタフェ−ルベルグ法の説明


 次の1階1元微分方程式で説明する。

 dy/dt = F( t , y)

 Fは時間tと変数yの関数である。

初期値 t=t0 の時 y=y0 とすると、Δt後の6個の変数値は下式となる。

  k1 = Δt・F( t0, y0)

  k2 = Δt・F( t0+Δt/4, y0+k1/4)

  k3 = Δt・F( t0+3Δt/8, y0+3k1/32+9k2/32)

  k4 = Δt・F( t0+12Δt/13, y0+1932k1/2197-7200k2/2197+7296k3/2197)

  k5 = Δt・F( t0+Δt, y0+439k1/216-8k2+3680k3/513-845k4/4104)

  k6 = Δt・F( t0+Δt/2, y0-8k1/27+2k2-3544k3/2565+1859k4/4104-11k5/40)

Δt後の変数値y1は4次の近似とし、次式となる。

  y1 = y0 + 25k1/216 + 1408k3/2565 + 2197k4/4104 - k5/5

また、5次の近似は次式となる。

  y1' = y0 + 16k1/135 + 6656k3/12825 + 28561k4/56430 - 9k5/50 + 2k6/55

5次の近似式と4次の近似式の差を誤差(R)とする。

  R = |y1' - y1| = |k1/360 - 128k3/4275 - 2197k4/75240 + k5/50 + 2k6/55|

 誤差の判定は次式でsをもとめ、s>=1の場合、近似値が許容誤差内と判定し次の時間ステップに進む。そうでない場合、Δt=sΔtに変更し計算をやりなおす。

  s = [ εΔt/(2R)]1/4

      ε:許容誤差=0.00001

 例題のVBAプログラムでは、s>0.1の制限を設定している。


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