エクセルを用いたルンゲクッタフェールベルグ法によるクロソイド曲線計算

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図1 クロソイド曲線(clothoid)のグラフ

クロソイド曲線


 高速道路は車の走行性を考慮し、直線と半径Rのカーブの間に緩和曲線が設定されている。この緩和曲線は一定のスピードで走行する車のハンドルを一定の回転速度で回しつづけた車の軌跡である。この緩和曲線をクロソイド曲線と呼ぶ。



クロソイド曲線の微分方程式


 クロソイド曲線の微分方程式を次にしめす。


 dx/dt = cos(t2)

 dy/dt = sin(t2)

     x : x座標値
     y : y座標値
     t : 曲線上の距離


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エクセルを用いて微分方程式を解く



 新潟大学工学部の伊東章先生からルンゲクッタフェールベルグ(Runnge-Kutta-Fehlberg)法による常微分方程式解法シート作成を依頼された。そのシートを用い微分方程式を解いてみよう。図2のように、算出が難しいといわれているクロソイド曲線も容易に算出できる。

                   図2 常微分方程式解法シート(ルンゲクッタフェールベルグ法)



 


エクセルを用いた数値積分(シンプソン公式)によるクロソイド曲線



Runge-Kutta-Fehlberg法


 新潟大学工学部化学システム工学科からの依頼により、エクセルを用いたRunge-Kutta-Fehlberg法を製作しました。Runge-Kutta-Fehlberg法は誤差をチェックし、時間刻み幅を変更しながら計算するため、通常のルンゲクッタ法と比較して非常に精度が良い方法です。通常のルンゲクッタ法では発散してしまう温度境界層問題も解けます。Runge-Kutta-Fehlberg法によるVBAは化学工学(反応速度式などに適応)のみならず機械工学にもたいへん有用と思われます。この常微分方程式解法シート(ITOシート)は化学工学資料のページからダウンロードできます。

参考 : 化学工学資料のページ   Excelで気軽に化学工学

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上記振動解析において、4次のルンゲクッタ法とRunge-Kutta-Fehlberg法を比較しました。Runge-Kutta-Fehlberg法はエネルギー保存則(運動エネルギー+バネのエネルギー)を満たしており、ひじょうに精度の良い解法であることがわかる。また4次のルンゲクッタ法より精度が良いにもかかわらずその演算時間が格段に小さく、性能が優れていることが解る。

エクセルを用いたルンゲクッタフェールベルグ法によるクロソイド曲線(緩和曲線)

計算が難しいといわれているクロソイド曲線も容易に算出できる。

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電気回路にも適用できる。

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(決して宇宙人には教えないで下さい)


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JR福知山線 脱線事故シミュレーション

ルンゲクッタ法で脱線事故シミュレーション
(Yahoo Japan 掲載)


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