Excelを用いたルンゲクッタフェールベルグ法による電気回路方程式の計算

Excelを用いたルンゲクッタフェールベルグ法による電気回路方程式の計算

Excelを用いた科学技術計算が第2版になりました　30年10月！

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図1 直列LCR回路モデル

　図1のような直列LCの回路方程式は(1)式となる。

　　L・di/dt + Ri + (1/C)∫i dt = V(t)　　　・・・　(1)

　　　　　　i ：電流(A：アンペア)
　　　　　　ｔ：時間(sec)
　　　　　　V(t)：時間的に変化する電圧元の電圧
　　　　　　V(t) = Vm・sin(ωt)とする。
　　　　　　Vm：最大電圧(V：ボルト)
　　　　　　ω：電圧元の角周波数(ラジアン/sec)
　　　　　　L：コイルの自己リアクタンス(H：ヘンリー)
　　　　　　R：電気抵抗(Ω：オーム)
　　　　　　C：コンデンサーの静電容量(F：ファラデー)
　　　　　　
　(1)式をtについて微分すると、次の２階微分方程式となる。

　　L・d²i/dt² + Rdi/dt + (1/C)i = U(t)　　　・・・　(2)

　　　　　　U(t) = dV(t)/dt = Vm・ωcos(ωt)

　ルンゲクッタ法は1階連立方程式の解法であるため、(2)式を次式のように、２個の1階微分方程式に分ける。

　　di/dt = s　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・ (3)

　　ds/dt = [ -R・s - (1/C)i + U(t) ]/L　　・・・ (4)

ルンゲクッタフェールベルグ法によりRLC回路方程式を解いてみよう

図2 LC回路の電流変化グラフ

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　数値積分の性能(精度)を改良するため、新潟大学工学部の伊東章先生からルンゲクッタフェールベルグ(Runnge-Kutta-Fehlberg)法による常微分方程式解法シート作成を依頼された。そのシートを用いLC回路方程式を解いてみよう。
　図3のように、L=0.02,C=0.01,初期電流1(A)の条件でLC回路方程式を解くと、図2の様に共振していることがわかる。共振の周期(T)の理論解は　T = 2π√(LC) = 0.028となり、グラフから読み取れる周期と一致している。

　　　　　　　　　図3 常微分方程式解法シート(ルンゲクッタフェールベルグ法)

　抵抗R=1を設定し、RLC回路方程式にして解くと、図4の様に、抵抗Rにより共振の振幅が減衰する。

　　　　　　　　　　　　　図4 抵抗Rにより共振の振幅が減衰するグラフ

強制的な交流電圧をRLC回路に加える

図5 強制的な交流電圧を加えた場合の電流の時間変化

　図6のように、RLC回路に強制的に１V、５０Hzの交流電圧を加えると、図5のような電流の時間変化となった。

　　　図6 常微分方程式解法シート(強制的に交流電圧を加えた場合)

Runge-Kutta-Fehlberg法

　新潟大学工学部化学システム工学科からの依頼により、エクセルを用いたRunge-Kutta-Fehlberg法を製作しました。Runge-Kutta-Fehlberg法は誤差をチェックし、時間刻み幅を変更しながら計算するため、通常のルンゲクッタ法と比較して非常に精度が良い方法です。通常のルンゲクッタ法では発散してしまう温度境界層問題も解けます。Runge-Kutta-Fehlberg法によるVBAは化学工学(反応速度式などに適応)のみならず機械工学にもたいへん有用と思われます。この常微分方程式解法シート(ITOシート)は新潟大学の化学工学資料のページからダウンロードできます。

参考　：　化学工学資料のページ 　　Excelで気軽に化学工学

エクセルを用いたルンゲクッタ法による多質点系バネマスモデルの振動解析

上記振動解析において、４次のルンゲクッタ法とRunge-Kutta-Fehlberg法を比較しました。Runge-Kutta-Fehlberg法はエネルギー保存則(運動エネルギー＋バネのエネルギー)を満たしており、ひじょうに精度の良い解法であることがわかる。また４次のルンゲクッタ法より精度が良いにもかかわらずその演算時間が格段に小さく、性能が優れていることが解る。

エクセルを用いたルンゲクッタフェールベルグ法によるクロソイド曲線(緩和曲線)

計算が難しいといわれているクロソイド曲線も容易に算出できる。

ルンゲクッタフェールベルグ法により電気回路方程式を解く

電気回路にも適用できる。

Excelを用いてラグランジュポイントにおける物体の運動方程式を解く
(決して宇宙人には教えないで下さい)

ラグランジュポイントでは物体は奇妙な運動を行う。

Excelを用いた地球温暖化計算

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 EXCELのソルバーを用いた科学技術計算

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