Excelを用いた連立方程式の計算

        

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マトリックス(行列計算)のすすめ

 
 下記の3元連立1次方程式を考えよう。
 (変数は x1, x2, x3)

   5x1 + 3x2 +  x3 = 3
   4x1 + 5x2 + 2x3 = 4
    x1 + 3x2 + 6x3 = 6







とおき、マトリックス(行列)で表記すると、極めて簡単に   

  A ×x = b     ・・・・・ (1)

となる。



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連立方程式の解


 連立方程式は(1)のマトリックス式で表記できた。

    A ×x = b    ・・・・・ (1)

両辺に逆マトリックス A-1をかける。

   A-1 × ( A × x ) = A-1 × b

   (A-1 × A ) × x = A-1 × b

  A-
1 × A = E より

   E × x = A-1 × b

   x = A-1 × b     ・・・・・ (2)

これで解 x が計算できる。


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EXCELで連立方程式を解く

@ マトリックス( A )、 ベクトル( b ) の入力


 元来EXCELは行列(マトリックス)でできている。
 図1のように、マトリックス、ベクトルエリアを確保し、値を入力する。


       図1 マトリックスとベクトルを入力したエクセルシート



A逆マトリックス( A-1 ) の計算


 任意位置に逆マトリックス A-1 のエリアを確保し、
図2のように関数 MINVERSE( マトリックス A )を設定する。
注) 複数エリアに関数を設定する場合 OKボタンを押さず、
    Ctrl Shift キーを押しながらEnterをキー入力で終了する。


          図2 関数(MINVERSE)の引数設定画面


       図3 逆マトリックスを計算したエクセルシート

図3より、逆マトリックスが計算できた。



B 逆マトリックス( A-1 ) × ベクトル( b ) の計算


  任意位置に解 ( x ) のエリアを確保し、
図4のように、関数 MMULT( 逆マトリックス( A-1 ), ベクトル( b ) )を設定すると、
解 ( x ) が求まる。


          図4 関数(MMULT)の引数設定画面



      図5 連立方程式の解を算出したエクセルシート

図5より、連立方程式の解が求まった。簡単ですよね。



C 検算


 求まった解( x )を使用し、 A × x を計算し、その値が b と一致することを  
確認する。


     図6 A × x を計算する関数(MMULT)の引数設定画面


       図7  A × x を検算したエクセルシート

図7より、検算結果とベクトルb は一致している。

めでたし、めでたし!



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連立方程式をEXCELのVBAで解いてみよう


EXCELの操作で、連立方程式が解けるようになった人は
EXCELのVB(ビジュアルベーシック)をつかって、連立方程式を解いて見ましょう。
解法はガウス・ザイデル法を採用します。
一般的に、マトリックスの次元が大きくなると、吐出法よりはガウス・ザイデル法の
ほうが、精度が良いようです。



最小2乗法も連立方程式を解く



 誤差を含む点列の近似関数を作るとき、最小2乗法が良く使われます。
最小2乗法も連立方程式を作り、これを解きます。
EXCELを用いた最小2乗法で近似関数を作ってみよう。


エクセルのソルバーを用い連立方程式を解いてみよう


エクセルのソルバーを用いても、連立方程式は解けます。


マトリックスを用いた座標回転



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