エクセルを用いた数値積分(シンプソン公式)によるクロソイド曲線計算

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図1 クロソイド曲線(clothoid)のグラフ

クロソイド曲線


 高速道路は車の走行性を考慮し、直線と半径Rのカーブの間に緩和曲線が設定されている。この緩和曲線は一定のスピードで走行する車のハンドルを一定の回転速度で回しつづけた車の軌跡である。この緩和曲線をクロソイド曲線と呼ぶ。



クロソイド曲線の積分式


 クロソイド曲線の積分式を次にしめす。


 x = ∫cos(τ2)dτ

 y = ∫sin(τ2)dτ
    
     積分区間[0:t]

     x : x座標値
     y : y座標値
     t : 曲線上の距離


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シンプソン公式


 シンプソン公式では、隣接する3点を放物線(2次関数)と仮定し数値積分を行う。
そのため、積分する関数f(x)の積分区間[a:b]を偶数個(M=2N)に等分割し、分割点での関数値(y0,y1,・・・y2M)が必要となる。

分割巾(h)は h = (a-b)/M となる。

積分値 I = ∫ f(x) dx は

 I = (1/3) h { y0+4(y1+y3+ ・・・・+y2M-1) + 2(y2+y4+・・・・・+y2M-2) + y2M }

となる。

クロソイド曲線を計算する場合、積分の途中結果も必要となる。そのため3点ずつ積分し、累積することとなる。
3点(y0,y1,y2)での積分値は次式となる。

 I = (1/3)h(y0 + 4y1 + y2)



エクセルを用た数値積分によるクロソイド曲線


 エクセルを用いた数値積分によりクロソイド曲線を求めよう。図2のように、関数の積分値を累積することとなる。


                   図2 クロソイド曲線を計算したエクセルシート


 


エクセルを用いた数値積分(シンプソン公式)

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(Yahoo Japan 掲載)


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