エクセルを用いたガウス・ルジャンドル積分公式による数値積分

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図１　数値積分を行う例題のグラフ

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ルジャンドルの多項式Pn(x)は次のｎ次多項式で定義され、xの定義域は[-1,1]である。nが偶数のときPn(x)は偶関数で、nが奇数のときPn(x)は奇関数である。 　　Pn(x) = {1/(2nn!)}dn(x2 -1)n/dxn ・・・・　(1) 具体的に書くと次の多項式となる。 　　P0(x) = 1 　　P1(x) = x 　　P2(x) = (1/2)(3x2 -1) 　　　　・・・・・・ 　２次以降の多項式は次の漸化式を利用して容易に計算ができる。 　　(n+1) Pn+1(x) - (2n+1)xPn(x) + nPn-1(x) = 0 　・・・　(2) (2)式がら(3)式に変形できる。 　　Pn+1(x) = [(2n+1)xPn(x) - nPn-1(x)]/(n+1)　　・・・ (3) 　(3)式を用いると、図2のように、エクセルシートにルジャンドル多項式の関数が設定できる。 　　　　図2 ルジャンドル多項式の関数の設定法

ｎ次ルジャンドル関数Pn(x)=0の解は次の区間に存在する。 　[sin(π(n-2i)/2n),sin(π(n-2i+2)/2n)] 　　・・・　(8) 　図3のように、計算結果エリアを設定し、図4のようにVBAを用いて、２分法により解を求める。 　　　　　　　　図3 ルジャンドルの多項式の解を求めるエクセルシート 　　　　　図4 ルジャンドルの多項式の解を求める２分法のVBA 　「多項式＝０の解計算」ボタンにマクロを登録し、ボタンをクリックすると、図5のようにシート上に計算結果が出力する。 　　　　　　　　　　　　　図5 ルジャンドル多項式の解の計算結果

計算された多項式の解を参照し、重みwiを計算するVBAを図５に示す。 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　図5 重みwiを計算するVBA 　「重みwiの計算」ボタンにこのマクロを登録し、ボタンをクリックすると、図6のようにシート上に計算結果が出力する。 　　　　　　　　　　　　　　　　図6 重みwiの計算結果

関数　f(x) = 1/(1+x2) を区間（０〜１）で積分すると、π/4=0.785398163が得られることが解っている。 VBAを用いて、図7のように関数(fun)を作成する。 　　　　　　　　　図7 VBAを用いた被積分関数 　図８のように、エクセルシート上に、計算済のルジャンドル多項式の解と重みwiをコピーし、それに対応する関数値f(x)とwi・f(x)を計算する。wi・f(x)の合計値が求める積分値となる。 　　図８　ガウス・ルジャンドル公式による数値積分用のエクセルシート