台形公式による無限積分は計算精度がよい
(エクセルを用いた数値積分)

        

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            図1 数値積分を行う例題関数のグラフ

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 定積分は関数、xの区間、x軸で囲まれた領域の面積を計算する。図1のように、台形公式では関数を直線で近似し、台形の面積を累積することで近似面積を求める。台形公式を有限区間の積分に適用すると精度が非常に悪い。しかし、台形公式を無限区間の積分に適応し、これを等間隔の刻み幅(h)の分点で計算すると、極めて精度の良い結果が得られることが知られている。



台形の面積計算



図2 台形形状


 図2のような台形の面積(S)は台形の面積公式を用いると、次式となる。

 
 S = (a+b)h/2  ・・・ (1)




EXCELを用いた台形公式による無限区間の数値積分


 例題として、(2)式を台形公式により数値積分する。この積分には解析解がある。そのため数値計算の精度が明確になる。

   
∫exp(-x2) dx = √(π)/2  ・・・ (2)    積分区間[0:∞]

図3のように、刻み幅(h)を0.5としてエクセルを用い数値積分を行った。x=5で台形の面積が極めて小さくなったので累積を中断した。計算結果と解析解は16桁以上一致しており、極めて精度が良いことが解る。


       図3 エクセルを用いた台形公式による数値積分


参考文献 Fortran 77 数値計算プログラミング 森正武著
FORTRAN77 数値計算プログラミング (岩波コンピュータサイエンス)

 



エクセルを用いた数値積分(シンプソン公式)


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エクセルを用いた数値積分(シンプソン公式)によるクロソイド曲線





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