Excelのソルバーを用いた非線形方程式の計算

        

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     図1 例題の3次方程式のグラフ         

EXCELのソルバーを用いて非線形方程式を解く



 EXCELのソルバーは変化させるセルを指定し、目的セルを最小(最大)にする機能です。

関数 f(x) = 0 の根を求める場合、関数 f(x)2 が最小(=0)となるxを見つける。
(2乗すると、その関数は負になることはなく、必ず最小値が存在する。)
そのときのxが、方程式 f(x) = 0 の根となります。

ただし、最小値として0より大きい値が算出された場合、その方程式には根が存在しない。



3次方程式の例題


3次方程式 f(x) = x3 + 6x2 + 21x + 32 = 0の根を求めてみよう。


              図2 3次方程式と3次方程式の2乗のグラフ

図2のグラフから判断して、-3と-2の間に解があるようです。



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EXCELのソルバーを用いて例題を解く


xのセルを設定し、そのxに対する f(x), f(x2)2 を計算する。


        図3 3次方程式の値とその2乗の値

メニューバーのツール - ソルバーを選択して下さい。
変化させるセルをx値とし、目的セルはf(x)2の値となります。


           図4 ソルバー:パラメータ設定画面

実行ボタンをクリックすると、計算結果がEX
CEL上に反映されます。


    図5 ソルバーの実行結果

f(x),f(x)2はともに0となりました。このときのxの値がf(x) = 0 の根となります。








根が3個ある3次方程式の例題


前例は実根が1個しかありません。3根を持つ3次方程式の場合はどうなるでしょう。
3根を持つ3次方程式 f(x) = 4x3 + 6x2 - 40x + 20 = 0 の根を求めてみよう。


                        図6 3根を持つ3次方程式のグラフ

ソルバーを実行してみると、1根のみ求まります。


  図7 3根を持つ3次方程式の解(ソルバー実行結果)

他の根を求めたい場合、xに制約条件をつける必要があります。

ソルバー:パラメータ設定画面で、制約条件の追加ボタンをクリックし、
制約条件 x > 2 を設定します。


      図8 制約条件の追加画面

制約条件のもとで、ソルバーを実行すると、求めたい根が算出されます。


   図9 制約条件付きのソルバー実行結果



制約条件で f(x)=0 を設定して解く方法



制約条件として、直接 f(x) = 0 を設定し、意味のない目的関数を作って、ソルバーを実行しても、
方程式の解は求まります。



         図10 無意味な目的関数を作成

ソルバーのパラメータ設定画面で、制約条件 f(x) = 0 を設定する。


     図11 制約条件を設定するソルバー:パラメータ設定画面

ソルバーを実行すると解が求まります。


   図12 制約条件でf(x) = 0 を設定したソルバーの実行結果



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