エクセルを用いたニュートン・ラプソン法による非線形方程式の計算

        


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ニュートン・ラプソン法



      図1 ニュートン・ラプソン法の説明


非線形方程式 f(x) = 0 の実数解 x を数値的に求めるとき、ニュートン・ラプソン法
(Newton-Lapson method)は非常に効率的な解法である。

その手順を以下に示す。

@ 解の初期値 x0を仮定する。

A x0において、 関数 f(x)に接する直線の方程式を求め、その直線とX軸の交点X1
  を求める。

B f(x1) ≒ 0のとき、x1が解となる。

  そうでない時、x1を新しい初期値と仮定し、ABをf(xn) ≒ 0となるまで、繰り返す。

(複素根は2次元のニュートン・ラプソン法により求めることが出来る)


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交点x1の求め方


x0点での関数f(x)の傾きはf’(x0)である。
(f’は関数fの微分(導関数))
よって、x0を通る接線の方程式は

y - f(x0) = f’(x0)・( x - x0 )

この接線がx軸と交わる点は、y=0のときである。

よって、

 x1 = x0 − f(x0)/f’(x0)



ニュートン・ラプソン法の例題


3次方程式 f(x) = x3 + 6x2 + 21x + 32 = 0の根を求めてみよう。
ちなみに、導関数は f’(x) = 3x2 + 12x + 21 となる。



               図2 3次方程式のグラフ

図2の3次方程式のグラフより、-3と-2の間に解があるようです。



EXCELで3次方程式を解く



初期値 X0 = −3 とし、そのときの関数f(x)を求める。(図3)


                      図3

そのときの導関数 f’(x)も求める。(図4)


                      図4

つぎの x1を求める。
 x1 = x0 − f(x0)/f’(x0) となる。(図5)


                       図5

X1の時のf(x1)、f’(x1)は、上のセルをコピーして貼り付ける。
X2のとき、上のセル x1、f(x1)、f’(x1)をコピーして、貼り付ける。
これを繰り返す。(図6)


                     図6

図6より、4回目でf(x) = 0になりました。
よって、このときのXが方程式の解となります。



ニュートン・ラプソン法で√2を求める


 関数 f(x) = x−2 の解は√2です。
ニュートン・ラプソン法で確認しましょう。
関数の微分(導関数)は f’(x) = 2x です。


                     図7 

図7より、解は√2(ひとよひとよにひとみごろ)になっています。


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