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 図１ ニュートン・ラプソン法の説明 |
非線形方程式 f(x) = 0 の実数解 x を数値的に求めるとき、ニュートン・ラプソン法 (Newton-Raphson method)は非常に効率的な解法である。 その手順を以下に示す。 ① 解の初期値 ｘ０を仮定する。 ② x0において、 関数 ｆ（ｘ）に接する直線の方程式を求め、その直線とX軸の交点X1 を求める。 ③ ｆ（ｘ１） ≒ ０のとき、x1が解となる。 そうでない時、ｘ１を新しい初期値と仮定し、②③をｆ（ｘn） ≒ ０となるまで、繰り返す。 （複素根は２次元のニュートン・ラプソン法により求めることが出来る） |
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ｘ０点での関数f(x)の傾きはｆ’(x0)である。 （ｆ’は関数ｆの微分（導関数）） よって、ｘ０を通る接線の方程式は y - f(x0) = f’(x0)・( x - x0 ) この接線がｘ軸と交わる点は、ｙ＝０のときである。 よって、 ｘ１ ＝ ｘ０ － ｆ（ｘ０）／ｆ’（ｘ０） |
３次方程式 f(x) = x3 + 6x2 + 21x + 32 = 0の根を求めてみよう。 ちなみに、導関数は f’(x) = 3x2 + 12x + 21 となる。  図２ ３次方程式のグラフ 図２の３次方程式のグラフより、-3と-2の間に解があるようです。 |
初期値 X０ ＝ －３ とし、そのときの関数ｆ（ｘ）を求める。(図３）  図３ そのときの導関数 ｆ’（ｘ）も求める。(図４)  図４ つぎの ｘ１を求める。 ｘ１ ＝ ｘ０ － ｆ（ｘ０）／ｆ’（ｘ０） となる。(図５）  図５ X1の時のｆ（ｘ１）、ｆ’（ｘ１）は、上のセルをコピーして貼り付ける。 X２のとき、上のセル ｘ１、ｆ（ｘ１）、ｆ’（ｘ１）をコピーして、貼り付ける。 これを繰り返す。（図６）  図６ 図６より、４回目でf(x) = 0になりました。 よって、このときのXが方程式の解となります。 |
関数 ｆ（ｘ） ＝ ｘ２－２ の解は√２です。 ニュートン・ラプソン法で確認しましょう。 関数の微分（導関数）は f’(x) = 2x です。  図７ 図７より、解は√２（ひとよひとよにひとみごろ）になっています。 |
