エクセルを用いた3次元空間上の三角形の面積計算

        

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               図1 3次元空間上の3角形

3次元空間上の三角形の定義


図1のような、3次元空間上の三角形の面積を求めましょう。
 
三角形は下記の3個の点座標(x,y,z)で表現できる。

点1 (x1,y1,z1)
点2 (x2,y2,z2)
点3 (x3,y3,z3)



ベクトルを用いて3角形の面積を計算する



図2 ベクトル図


図2のように、点1から点2のベクトルA=(xa,ya,za)とし、
点1から点3のベクトルB=(xb,yb,zb)とすると、

 (xa,ya,za) = (x2,y2,z2) - (x1,y1,z1)
 (xb,yb,zb) = (x3,y3,z3) - (x1,y1,z1)

となる。

ベクトルA 、ベクトルB
の外積(xg,yg,zg)は次式となる。

 × = (ya・zb−za・yb,za・xb−xa・zb,xa・yb−ya・xb)

ベクトル(xa,ya,za)とベクトル(xb,yb,zb)が作る平行四辺形の面積(C)は

この外積の大きさとなる。

参照 : エクセルを用いたベクトルの外積計算

三角形の面積(S)は平行四辺形の半分である。

よって、

 S = √(xg2 + yg2 + zg2 )/2

となる。


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エクセルを用い3次元空間上の三角形の面積を求める


三角形の面積を求めてみよう。

図3のように、三角形を構成する点を点1(1,2,-1),点2(9,3,1),点3(5,10,2)とします。


     図3 空間上の3角形の面積を求めるエクセルシート

 簡単ですね。


 





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