エクセルのVBAを用いたはさみうち法による非線形方程式の計算

        

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図1 はさみうち法の説明
はさみうち法


はさみうち法は中間値の定理を根拠とし、方程式 f(x) = 0 の近似解を求める。

中間値の定理

関数 f(x)が閉区間 [a,b] で連続で、f(a)とf(b)の値が異符号ならば、aとbの間にf(c) = 0
となる c が必ず存在する。(1つとは限らない)

はさみうち法による解法手順を以下に示す。

@ f(a)とf(b)の値が異符号となる区間 [a,b] を見つける。(関数のグラフから見つけてください)

A 線分(a,f(a))(b,f(b))とx軸の交点 m=(bf(a)-af(b)/(f(a)-f(b)) での関数値 f(m)を計算する。

B f(m)とf(a)が同符号の場合、[m,b]を新たな区間[a,b]とし、区間を狭める。
   そうでない場合、[a,m]を新たな区間[a,b]とし、区間を狭める。

C f(m) ≒ 0となるまで、ABを繰り返す。そのときのmが近似解となる。



はさみうち法の例題


3次方程式 f(x) = x3 + 6x2 + 21x + 32 = 0の根を求めてみよう。


              図2 3次方程式のグラフ

図2のグラフから判断して、-3と-2の間に解があるようです。



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 図3のように、関数とはさみうち法の範囲を設定する。


        図3 はさみうち法の範囲と関数を設定

 図4のように、VBAを作る。繰り返し回数を20回にする。


                図4 はさみうち法のVBA

 図5のように、実行ボタンにマクロを登録し、実行ボタンをクリックすると、関数値f(x)が0となるxの値が求まる。


            図5 はさみうち法の実行結果



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